Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

 

Objętość stożka wynosi:

$V_s=\frac{1}{3}\pi R^{2}H$  

Objętość walca jest równa:

$V_w=\pi r^{2}h$  

Stosunek objętości stożka do objętości walca wynosi 8/3, zatem: 

$\frac{\frac{1}{3}\pi R^{2}H}{\pi r^{2}h}=\frac{8}{3}$  

$\frac{R^{2}H}{3r^{2}h}=\frac{8}{3}\mid \cdot 3$

$\frac{R^{2}H}{r^{2}h}=8\mid :8$  

$\frac{R^{2}H}{8r^{2}h}=1\mid \cdot h$  

$\frac{R^{2}H}{8r^2}=h\mid :H$  

$\frac{R^2}{8r^2}=\frac{h}{H}$  

Z podobieństwa zaznaczonych trójkątów prostokątnych otrzymujemy równość:

$\frac{r}{H-h}=\frac{R}{H}\mid \cdot \left(H-h\right)$  

$r=\frac{R\left(H-h\right)}{H}\mid :R$  

$\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}$  

$\frac{r}{R}=\frac{H}{H}-\frac{h}{H}$  

$\frac{r}{R}=1-\frac{h}{H}\mid -1$  

$\frac{r}{R}-1=-\frac{h}{H}\mid \cdot \left(-1\right)$  

$-\frac{r}{R}+1=\frac{h}{H}$  

$-\frac{r}{R}+\frac{R}{R}=\frac{h}{H}$  

$\frac{-r+R}{R}=\frac{h}{H}$  

$\frac{R-r}{R}=\frac{h}{H}$  

Wobec tego:

$\frac{R^2}{8r^2}=\frac{R-r}{R}$  

Korzystamy z własności proporcji.

$R^3=8r^2\left(R-r\right)$  

$R^3=8R{r}^{2}R-8r^3\mid -8R{r}^2$  

$R^3-8R{r}^2=-8r^3\mid +8r^3$  

$R^3-8R{r}^2+8r^3=0$  

Skorzystamy z metody grupowania wyrazów.

$R^3\underset{0}{\underbrace{-2R^{2}r+2R^{2}r}}\underset{-8R{r}^2}{\underbrace{-4R{r}^2-4R{r}^2}}+8r^3=0$  

$R^2\left(R-2r\right)+2Rr\left(R-2r\right)-4r^2\left(R-2r\right)=0$  

$\left(R-2r\right)\left(R^2+2Rr-4r^2\right)=0$  

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, gdy co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0, zatem:

$\left(1\right)R-2r=0\mid +2r$  

$R=2r$  

$\left(2\right)R^2+2Rr-4r^2=0$  

$R^2+2rR-4r^2=0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(2r\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-4r^2\right)=4r^2+16r^2=20r^2$  

Wyznaczamy pierwiastki.

$R_1=\frac{-2r-\sqrt{20r^2}}{2\cdot 1}=\frac{-2r-2\sqrt{5}r}{2}=-r-\sqrt{5}r=\left(-1-\sqrt{5}\right)r<0$  

$R_2=\frac{-2r+\sqrt{20r^2}}{2\cdot 1}=\frac{-2r+2\sqrt{5}r}{2}=-r+\sqrt{5}r=\left(-1+\sqrt{5}\right)r=\left(\sqrt{5}-1\right)r$  

Odrzucamy pierwszą odpowiedź, ponieważ promień podstawy stożka jest liczbą dodatnią. Mamy więc:

$R=\left(\sqrt{5}-1\right)r$  

---

---

$\mathbf{R}=2\mathbf{r},\mathbf{R}=\left(\sqrt{5}-1\right)\mathbf{r}$