W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź ...- Zadanie 19: Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

a) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Objętość

Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego dzielą go na sześć przystających trójkątów równobocznych. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość wysokości ostrosłupa.

$H^{2} + a^{2} = (4 a)^{2}$

$H^{2} + a^{2} = 16 a^{2} ∣ - a^{2}$

$H^{2} = 15 a^{2}$

$H = 15 a$

Obliczamy objętość ostrosłupa. Przy obliczaniu pola podstawy wykorzystamy wzór na pole trójkąta równobocznego.

$V_{1} = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot H = 2 \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot 15 a = \frac{3 5 a ^{3}}{2}$

Obliczamy objętość ostrosłupa odciętego.

$V_{2} = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{( \frac{a}{2} ) ^{2} \cdot 3}{4} \cdot \frac{H}{2} = 2 \cdot \frac{\frac{a ^{2}}{4} \cdot 3}{4} \cdot \frac{15 a}{2} = \frac{\frac{3 a ^{2}}{4}}{4} \cdot 15 a = \frac{3 5 a ^{3}}{16}$

Obliczamy objętość ostrosłupa ściętego.

$V = V_{1} - V_{2} = \frac{3 5 a ^{3}}{2} - \frac{3 5 a ^{3}}{16} = \frac{24 5 a ^{3}}{16} - \frac{3 5 a ^{3}}{16} = \frac{21 5 a ^{3}}{16} = \frac{21 a ^{3} q r t ( 5 )}{16}$

Pole powierzchni

Wyznaczamy długość odcinka oznaczonego literą x - jest to wysokość trójkąta równobocznego o boku długości a.

$x = \frac{a 3}{2}$

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość wysokości ściany bocznej ostrosłupa.

$h^{2} = x^{2} + H^{2}$

$h^{2} = (\frac{a 3}{2})^{2} + 15 a^{2}$

$h^{2} = \frac{3 a ^{2}}{4} + \frac{60 a ^{2}}{4}$

$h^{2} = \frac{63 a ^{2}}{4}$

$h = \frac{63 a}{2}$

$h = \frac{3 7 a}{2}$

Obliczamy pole powierzchni ostrosłupa.

$P_{1} = 6 \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} + 6 \cdot \frac{a \cdot h}{2} = \frac{3 a ^{2} 3}{2} + 3 \cdot a \cdot \frac{3 7 a}{2} = \frac{3 a ^{2} 3}{2} + \frac{9 a ^{2} 7}{2} = \frac{3 a ^{2} 3 + 9 a ^{2} 7}{2}$

Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa odciętego.

$P_{2} = 6 \cdot \frac{\frac{a}{2} \cdot \frac{h}{2}}{2} = 3 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{\frac{3 7 a}{2}}{2} = \frac{\frac{9 a ^{2} 7}{2}}{4} = \frac{9 a ^{2} 7}{8}$

Obliczamy pole powierzchni ostrosłupa ściętego. Pamiętajmy o doliczeniu pola podstawy ostrosłupa odciętego.

$P_{c} = P_{1} - P_{2} + 6 \cdot \frac{( \frac{a}{2} ) ^{2} \cdot 3}{4} = \frac{3 a ^{2} 3 + 9 a ^{2} 7}{2} - \frac{9 a ^{2} 7}{8} + 3 \cdot \frac{( \frac{a}{2} ) ^{2} \cdot 3}{2} = \frac{12 a ^{2} 3 + 36 a ^{2} 7}{8} - \frac{9 a ^{2} 7}{8} + 3 \cdot \frac{\frac{a ^{2}}{4} \cdot 3}{2} = \frac{12 a ^{2} 3 + 36 a ^{2} 7 - 9 a ^{2} 7}{8} + \frac{\frac{3 a ^{2} 3}{4}}{2} = \frac{12 a ^{2} 3 + 27 a ^{2} 7}{8} + \frac{3 a ^{2} 3}{8} = \frac{12 a ^{2} 3 + 27 a ^{2} 7 + 3 a ^{2} 3}{8} = \frac{15 a ^{2} 3 + 27 a ^{2} 7}{8} = \frac{3 a ^{2} ( 5 3 + 9 7 )}{8}$

$V = \frac{21 a ^{3} q r t ( 5 )}{16}, P_{c} = \frac{3 a ^{2} ( 5 3 + 9 7 )}{8}$

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Objętość

W podpunkcie a) obliczyliśmy już objętość danego ostrosłupa.

$V_{1} = \frac{3 5 a ^{3}}{2}$

Wyznaczamy długość odcinka oznaczonego literą z - jest to wysokość trójkąta równobocznego o boku długości a/2.

$z = \frac{\frac{a}{2} \cdot 3}{2} = \frac{\frac{a 3}{2}}{2} = \frac{a 3}{4}$

Obliczamy objętość ostrosłupa odciętego. Jego pole podstawy równe jest polu trójkąta równobocznego o boku długości a/2. Długość wysokości ostrosłupa wyznaczyliśmy w podpunkcie a).

$V_{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{( \frac{a}{2} ) ^{2} \cdot 3}{4} \cdot H = \frac{\frac{a ^{2}}{4} \cdot 3}{12} \cdot 15 a = \frac{\frac{a ^{2} 3}{4}}{12} \cdot 15 a = \frac{3 a ^{3} 5}{48} = \frac{a ^{3} 5}{16}$

Obliczamy objętość ostrosłupa ściętego.

$V = V_{1} - V_{2} = \frac{3 5 a ^{3}}{2} - \frac{a ^{3} 5}{16} = \frac{24 a ^{3} 5}{16} - \frac{a ^{3} 5}{16} = \frac{24 a ^{3} 5 - a ^{3} 5}{16} = \frac{23 a ^{3} 5}{16}$

Pole powierzchni

W podpunkcie a) obliczyliśmy już pole powierzchni danego ostrosłupa.

$P_{1} = \frac{3 a ^{2} 3 + 9 a ^{2} 7}{2}$

Obliczamy pole podstawy i sumę pól dwóch przystających ścian bocznych ostrosłupa odciętego.

$P_{2} = \frac{( \frac{a}{2} ) ^{2} \cdot 3}{4} + 2 \cdot \frac{\frac{a}{2} \cdot h}{2} = \frac{\frac{a ^{2}}{4} \cdot 3}{4} + \frac{a}{2} \cdot \frac{3 7 a}{2} = \frac{\frac{a ^{2} 3}{4}}{4} + \frac{3 7 a ^{2}}{4} = \frac{a ^{2} 3}{16} + \frac{12 7 a ^{2}}{16} = \frac{a ^{2} 3 + 12 7 a ^{2}}{16}$

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość y.

$y^{2} + z^{2} = h^{2}$

$y^{2} + (\frac{a 3}{4})^{2} = \frac{63 a ^{2}}{4}$

$y^{2} + \frac{3 a ^{2}}{16} = \frac{252 a ^{2}}{16} ∣ - \frac{3 a ^{2}}{16}$

$y^{2} = \frac{249 a ^{2}}{16}$

$y = \frac{249 a}{4}$

Obliczamy pole powierzchni ostrosłupa ściętego. Pamiętajmy o doliczeniu pola podstawy ostrosłupa odciętego.

$P_{c} = P_{1} - P_{2} + \frac{2 z \cdot y}{2} = \frac{3 a ^{2} 3 + 9 a ^{2} 7}{2} - \frac{a ^{2} 3 + 12 7 a ^{2}}{16} + z y = \frac{24 a ^{2} 3 + 72 a ^{2} 7}{16} - \frac{a ^{2} 3 + 12 7 a ^{2}}{16} + \frac{a 3}{4} \cdot \frac{249 a}{4} = \frac{24 a ^{2} 3 + 72 a ^{2} 7 - a ^{2} 3 - 12 7 a ^{2}}{16} + \frac{3 a ^{2} 83}{16} = \frac{23 a ^{2} 3 + 60 a ^{2} 7 + 3 a ^{2} 83}{16} = \frac{a ^{2} ( 23 3 + 60 7 + 3 83 )}{16}$