a) Szukaną liczbę oznaczmy przez  $x.$  

Różnica liczb  $x$  i  $\frac{1}{x}$  jest równa  $2\sqrt{3},$  czyli:

$x-\frac{1}{x}=2\sqrt{3}$  

Dziedziną równania wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

$x\ne 0$  

Zatem: 

$D=\mathbb{R}\text{}\left\{0\right\}$  

Rozwiązujemy równanie.

$x-\frac{1}{x}=2\sqrt{3}\mid -2\sqrt{3}$  

$x-\frac{1}{x}-2\sqrt{3}=0$  

$\frac{x^2}{x}-\frac{1}{x}-\frac{2\sqrt{3}x}{x}=0$  

$\frac{x^2-1-2\sqrt{3}x}{x}=0$  

$x^2-1-2\sqrt{3}x=0$  

$x^2-2\sqrt{3}x-1=0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-2\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=12+4=16$  

Wyznaczamy pierwiastki równania.

$x_1=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2\sqrt{3}-4}{2}=\sqrt{3}-2$  

$x_2=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2\sqrt{3}+4}{2}=\sqrt{3}+2$  

Zatem:

$x\in \left\{\sqrt{3}-2,\sqrt{3}+2\right\}$  

---

b) Szukaną liczbę oznaczmy przez  $x.$  

Suma liczb  $x^2$  i  $\frac{1}{x}$  wynosi 2, czyli:

$x^2+\frac{1}{x}=2$  

Dziedziną równania wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

$x\ne 0$  

Zatem: 

$D=\mathbb{R}\text{}\left\{0\right\}$  

Rozwiązujemy równanie.

$x^2+\frac{1}{x}=2\mid -2$  

$x^2+\frac{1}{x}-2=0$  

$\frac{x^3}{3}+\frac{1}{x}-\frac{2x}{x}=0$  

$\frac{x^3+1-2x}{x}=0$  

$x^3+1-2x=0$  

$x^3-2x+1=0$  

Suma współczynników powyższego wielomianu jest równa 0, więc jednym z pierwiastków jest liczba 1. Wykonujemy dzielenie wielomianu  $x^2-2x+1$  przez dwumian  $x-1,$  stosując schemat Hornera.

	$1$	$0$	$-2$	$1$
$1$	$1$	$1$	$-1$	$0$

Stąd otrzymujemy równanie:

$\left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)=0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=1+4=5$  

Wyznaczamy pozostałe pierwiastki równania.

$x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2\cdot 1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$  

$x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2\cdot 1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$  

Zatem:

$x\in \left\{\frac{-1-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right\}$  

---

c) Suma dwóch liczb wynosi 3. Szukane liczby oznaczmy więc przez  $x$  oraz  $3-x.$  

Suma liczb  $\frac{1}{x}$  i  $\frac{1}{3-x}$  jest równa  $2\frac{2}{5},$  czyli:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{3-x}=2\frac{2}{5}$  

Dziedziną równania wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

$x\ne 0\wedge 3-x\ne 0$  

$x\ne 0\wedge -x\ne -3$  

$x\ne 0\wedge x\ne 3$  

Zatem: 

$D=\mathbb{R}\text{}\left\{0,3\right\}$  

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{1}{x}+\frac{1}{3-x}=2\frac{2}{5}\mid -2\frac{2}{5}$  

$\frac{1}{x}+\frac{1}{3-x}-2\frac{2}{5}=0$  

$\frac{1}{x}+\frac{1}{3-x}-\frac{12}{5}=0$  

$\frac{5\left(3-x\right)}{5x\left(3-x\right)}+\frac{5x}{5\left(3-x\right)x}-\frac{12x\left(3-x\right)}{5x\left(3-x\right)}=0$  

$\frac{15-5x}{5x\left(3-x\right)}+\frac{5x}{5\left(3-x\right)x}-\frac{36x-12x^2}{5x\left(3-x\right)}=0$  

$\frac{15-5x+5x-\left(36x-12x^2\right)}{5x\left(3-x\right)}=0$  

$\frac{15-36x+12x^2}{5x\left(3-x\right)}=0$  

$\frac{12x^2-36x+15}{5x\left(3-x\right)}=0$  

$12x^2-36x+15=0\mid :3$  

$4x^2-12x+5=0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-12\right)}^2-4\cdot 4\cdot 5=144-80=64$  

Wyznaczamy pierwiastki równania.

$x_1=\frac{-\left(-12\right)-\sqrt{64}}{2\cdot 4}=\frac{12-8}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$  

$x_2=\frac{-\left(-12\right)+\sqrt{64}}{2\cdot 4}=\frac{12+8}{8}=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}$  

Zatem:

$x\in \left\{\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right\}$