Znajdź równania prostych stycznych do okręgu ...- Zadanie 156: Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

a) Korzystamy z postaci ogólnej równania okręgu i otrzymujemy, że:

$⎩ ⎨ ⎧ 2 a = 2 ∣ : 2 2 b = 0 ∣ : 2 c = 0$

$⎩ ⎨ ⎧ a = 1 b = 0 c = 0$

Środkiem tego okręgu jest punkt:

$S = (1, 0)$

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Najpierw równanie danej prostej zapiszemy w postaci kierunkowej.

$x + 5 y + 10 = 0 ∣ - x$

$5 y + 10 = - x ∣ - 10$

$5 y = - x - 10 ∣ : 5$

$y = - \frac{1}{5} x - 2$

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy -1. Równanie prostej prostopadłej do danej prostej możemy więc zapisać w postaci:

$y = 5 x + b$

Do tej prostej należy punkt S, zatem:

$0 = 5 \cdot 1 + b$

$0 = 5 + b ∣ - 5$

$- 5 = b$

Prosta ta opisana jest równaniem:

$y = 5 x - 5$

Wyznaczamy współrzędne punktów przecięcia tej prostej i okręgu.

${y = 5 x - 5 x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$

${y = 5 x - 5 x^{2} + (5 x - 5)^{2} - 2 x = 0$

${y = 5 x - 5 x^{2} + 25 x^{2} - 50 x + 25 - 2 x = 0$

${y = 5 x - 5 26 x^{2} - 52 x + 25 = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 52)^{2} - 4 \cdot 26 \cdot 25 = 2704 - 2600 = 104$

Wyznaczamy pierwiastki.

$x_{1} = \frac{- ( - 52 ) - 104}{2 \cdot 26} = \frac{52 - 2 26}{52} = \frac{26 - 26}{26}$

$x_{2} = \frac{- ( - 52 ) + 104}{2 \cdot 26} = \frac{52 + 2 26}{52} = \frac{26 + 26}{26}$

Mamy więc:

${y = 5 x - 5 x = \frac{26 - 26}{26} lub {y = 5 x - 5 x = \frac{26 + 26}{26}$

${y = 5 \cdot \frac{26 - 26}{26} - 5 x = \frac{26 - 26}{26} lub {y = 5 \cdot \frac{26 + 26}{26} - 5 x = \frac{26 + 26}{26}$

${y = 5 \cdot \frac{26 - 1}{26} - 5 x = \frac{26 - 26}{26} lub {y = 5 \cdot \frac{26 + 1}{26} - 5 x = \frac{26 + 26}{26}$

${y = \frac{5 26 - 5}{26} - \frac{5 26}{26} x = \frac{26 - 26}{26} lub {y = \frac{5 26 + 5}{26} - \frac{5 26}{26} x = \frac{26 + 26}{26}$

${y = \frac{5 26 - 5 - 5 26}{26} x = \frac{26 - 26}{26} lub {y = \frac{5 26 + 5 - 5 26}{26} x = \frac{26 + 26}{26}$

${y = \frac{- 5}{26} x = \frac{26 - 26}{26} lub {y = \frac{5}{26} x = \frac{26 + 26}{26}$

${y = - \frac{5}{26} x = \frac{26 - 26}{26} lub {y = \frac{5}{26} x = \frac{26 + 26}{26}$

${x = \frac{26 - 26}{26} y = - \frac{5}{26} lub {x = \frac{26 + 26}{26} y = \frac{5}{26}$

Zatem:

$A = (\frac{26 - 26}{26}, - \frac{5}{26})$

$B = (\frac{26 + 26}{26}, \frac{5}{26})$

Współczynniki kierunkowe prostych równoległych są takie same, więc równania stycznych równoległych do prostej x+5y+10=0 mają postać:

$y = - \frac{1}{5} x + b$

Najpierw wyznaczymy równanie stycznej do okręgu w punkcie A.

$- \frac{5}{26} = - \frac{1}{5} \cdot \frac{26 - 26}{26} + b$

$- \frac{5}{26} = - \frac{26 - 26}{104} + b ∣ + \frac{26 - 26}{104}$

$- \frac{5}{26} + \frac{26 - 26}{104} = b$

$- \frac{25 26}{104} + \frac{26 - 26}{104} = b$

$\frac{- 25 26 + 26 - 26}{104} = b$

$\frac{26 - 26 26}{104} = b$

$\frac{1 - 26}{5} = b$

Stąd otrzymujemy:

$y = - \frac{1}{5} x + \frac{1 - 26}{5}$

Równanie tej prostej zapiszemy w postaci ogólnej.

$y = - \frac{1}{5} x + \frac{1 - 26}{5} ∣ \cdot 5$

$5 y = - x + 1 - 26 ∣ + x$

$x + 5 y = 1 - 26 ∣ - 1$

$x + 5 y - 1 = - 26 ∣ + 26$

$x + 5 y - 1 + 26 = 0$

Teraz wyznaczymy równanie stycznej do okręgu w punkcie B.

$\frac{5}{26} = - \frac{1}{5} \cdot \frac{26 + 26}{26} + b$

$\frac{5}{26} = - \frac{26 + 26}{104} + b ∣ + \frac{26 + 26}{104}$

$\frac{5}{26} + \frac{26 + 26}{104} = b$

$\frac{25 26}{104} + \frac{26 + 26}{104} = b$

$\frac{25 26 + 26 + 26}{104} = b$

$\frac{26 + 26 26}{104} = b$

$\frac{1 + 26}{5} = b$

Stąd otrzymujemy:

$y = - \frac{1}{5} x + \frac{1 + 26}{5}$

Równanie tej prostej zapiszemy w postaci ogólnej.

$y = - \frac{1}{5} x + \frac{1 + 26}{5} ∣ \cdot 5$

$5 y = - x + 1 + 26 ∣ + x$

$x + 5 y = 1 + 26 ∣ - 1$

$x + 5 y - 1 = 26 ∣ - 26$

$x + 5 y - 1 - 26 = 0$

Równania stycznych spełniające dany warunek:

$x + 5 y - 1 + 26 = 0$

$x + 5 y - 1 - 26 = 0$

b) Korzystamy z postaci ogólnej równania okręgu i otrzymujemy, że:

$⎩ ⎨ ⎧ 2 a = 2 ∣ : 2 2 b = 0 ∣ : 2 c = 0$

$⎩ ⎨ ⎧ a = 1 b = 0 c = 0$

Środkiem tego okręgu jest punkt:

$S = (1, 0)$

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Najpierw równanie danej prostej zapiszemy w postaci kierunkowej.

$x + 2 y - 4 = 0 ∣ - x$

$2 y - 4 = - x ∣ + 4$

$2 y = - x + 4 ∣ : 2$

$y = - \frac{1}{2} x + 2$

Współczynniki kierunkowe prostych równoległych są takie same, więc równanie prostej równoległej do danej prostej ma postać:

$y = - \frac{1}{2} x + b$

Do tej prostej należy punkt S, zatem:

$0 = - \frac{1}{2} \cdot 1 + b$

$0 = - \frac{1}{2} + b ∣ + \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} = b$

Prosta ta opisana jest równaniem:

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

Wyznaczamy współrzędne punktów przecięcia tej prostej i okręgu.

${y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$

${y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x^{2} + (- \frac{1}{2} x + \frac{1}{2})^{2} - 2 x = 0$

${y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} - 2 x = 0$

${y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \frac{5}{4} x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{1}{4} = 0 ∣ \cdot 4$

${y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} 5 x^{2} - 10 x + 1 = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 10)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 100 - 20 = 80$

Wyznaczamy pierwiastki.

$x_{1} = \frac{- ( - 10 ) - 80}{2 \cdot 5} = \frac{10 - 4 5}{10} = \frac{5 - 2 5}{5}$

$x_{2} = \frac{- ( - 10 ) + 80}{2 \cdot 5} = \frac{10 + 4 5}{10} = \frac{5 + 2 5}{5}$

Mamy więc:

${y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x = \frac{5 - 2 5}{5} lub {y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x = \frac{5 + 2 5}{5}$

${y = - \frac{1}{2} \cdot \frac{5 - 2 5}{5} + \frac{1}{2} x = \frac{5 - 2 5}{5} lub {y = - \frac{1}{2} \cdot \frac{5 + 2 5}{5} + \frac{1}{2} x = \frac{5 + 2 5}{5}$

${y = \frac{- 5 + 2 5}{10} + \frac{5}{10} x = \frac{5 - 2 5}{5} lub {y = \frac{- 5 - 2 5}{10} + \frac{5}{10} x = \frac{5 + 2 5}{5}$

${y = \frac{- 5 + 2 5 + 5}{10} x = \frac{5 - 2 5}{5} lub {y = \frac{- 5 - 2 5 + 5}{10} x = \frac{5 + 2 5}{5}$

${y = \frac{2 5}{10} x = \frac{5 - 2 5}{5} lub {y = \frac{- 2 5}{10} x = \frac{5 + 2 5}{5}$

${y = \frac{5}{5} x = \frac{5 - 2 5}{5} lub {y = - \frac{5}{5} x = \frac{5 + 2 5}{5}$

${x = \frac{5 - 2 5}{5} y = \frac{5}{5} lub {x = \frac{5 + 2 5}{5} y = - \frac{5}{5}$

Zatem:

$A = (\frac{5 - 2 5}{5}, \frac{5}{5})$

$B = (\frac{5 + 2 5}{5}, - \frac{5}{5})$

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy -1, więc równania stycznych prostopadłych do prostej x+2y-4=0 mają postać:

$y = 2 x + b$

Najpierw wyznaczymy równanie stycznej do okręgu w punkcie A.

$\frac{5}{5} = 2 \cdot \frac{5 - 2 5}{5} + b$

$\frac{5}{5} = \frac{10 - 4 5}{5} + b ∣ - \frac{10 - 4 5}{5}$

$\frac{5}{5} - \frac{10 - 4 5}{5} = b$

$\frac{5 - ( 10 - 4 5 )}{5} = b$

$\frac{5 - 10 + 4 5}{5} = b$

$\frac{5 5 - 10}{5} = b$

$5 - 2 = b$

Stąd otrzymujemy:

$y = 2 x + 5 - 2$

Równanie tej prostej zapiszemy w postaci ogólnej.

$y = 2 x + 5 - 2 ∣ - y$

$0 = 2 x - y + 5 - 2$

Teraz wyznaczymy równanie stycznej do okręgu w punkcie B.

$- \frac{5}{5} = 2 \cdot \frac{5 + 2 5}{5} + b$

$\frac{- 5}{5} = \frac{10 + 4 5}{5} + b ∣ - \frac{10 + 4 5}{5}$

$\frac{- 5}{5} - \frac{10 + 4 5}{5} = b$

$\frac{- 5 - ( 10 + 4 5 )}{5} = b$

$\frac{- 5 - 10 - 4 5}{5} = b$

$\frac{- 5 5 - 10}{5} = b$

$- 5 - 2 = b$

Stąd otrzymujemy:

$y = 2 x - 5 - 2$

Równanie tej prostej zapiszemy w postaci ogólnej.

$y = 2 x - 5 - 2 ∣ - y$

$0 = 2 x - y - 5 - 2$

Równania stycznych spełniające dany warunek:

$0 = 2 x - y + 5 - 2$

$0 = 2 x - y - 5 - 2$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Wyznaczanie równania prostej

Premium

13:59

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Punkt przecięcia prostych i wzajemne położenie dwóch prostych

Premium

15:06

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Równanie kierunkowe i ogólne prostej

Premium

13:02

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.