Ustal, w jakich punktach prosta ...- Zadanie 137: Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

a) Wyznaczamy współrzędne punktów wspólnych okręgu i prostej.

${(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 10 y = 3 x - 1$

${(x - 1)^{2} + (3 x - 1 - 2)^{2} = 10 y = 3 x - 1$

${(x - 1)^{2} + (3 x - 3)^{2} = 10 y = 3 x - 1$

${x^{2} - 2 x + 1 + 9 x^{2} - 18 x + 9 = 10 y = 3 x - 1$

${10 x^{2} - 20 x + 10 = 10 ∣ - 10 y = 3 x - 1$

${10 x^{2} - 20 x = 0 ∣ : 10 y = 3 x - 1$

${x^{2} - 2 x = 0 y = 3 x - 1$

${x (x - 2) = 0 y = 3 x - 1$

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0, zatem:

${x = 0 y = 3 x - 1 lub {x - 2 = 0 y = 3 x - 1$

${x = 0 y = 3 \cdot 0 - 1 lub {x = 2 y = 3 x - 1$

${x = 0 y = 0 - 1 lub {x = 2 y = 3 \cdot 2 - 1$

${x = 0 y = - 1 lub {x = 2 y = 6 - 1$

${x = 0 y = - 1 lub {x = 2 y = 5$

Szukane punkty mają współrzędne:

$(0, - 1), (2, 5)$

b) Wyznaczamy współrzędne punktów wspólnych okręgu i prostej.

${(x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} = \frac{8}{5} y = 3 x - 1$

${(x + 2)^{2} + (3 x - 1 + 3)^{2} = \frac{8}{5} y = 3 x - 1$

${(x + 2)^{2} + (3 x + 2)^{2} = \frac{8}{5} y = 3 x - 1$

${x^{2} + 4 x + 4 + 9 x^{2} + 12 x + 4 = \frac{8}{5} y = 3 x - 1$

${10 x^{2} + 16 x + 8 = \frac{8}{5} ∣ : 2 y = 3 x - 1$

${5 x^{2} + 8 x + 4 = \frac{4}{5} ∣ \cdot 5 y = 3 x - 1$

${25 x^{2} + 40 x + 20 = 4 ∣ - 4 y = 3 x - 1$

${25 x^{2} + 40 x + 16 = 0 y = 3 x - 1$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = 40^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 16 = 1600 - 1600 = 0$

Wyznaczamy pierwiastek.

$x_{0} = \frac{- 40}{2 \cdot 25} = \frac{- 40}{50} = - \frac{4}{5}$

Mamy więc:

${x = - \frac{4}{5} y = 3 x - 1$

${x = - \frac{4}{5} y = 3 \cdot (- \frac{4}{5}) - 1$

${x = - \frac{4}{5} y = - \frac{12}{5} - 1$

${x = - \frac{4}{5} y = - \frac{17}{5}$

Szukany punkt ma współrzędne:

$(- \frac{4}{5}, - \frac{17}{5})$

c) Wyznaczamy współrzędne punktów wspólnych okręgu i prostej.

${(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 6 y = 3 x - 1$

${(x + 1)^{2} + (3 x - 1 - 4)^{2} = 6 y = 3 x - 1$

${(x + 1)^{2} + (3 x - 5)^{2} = 6 y = 3 x - 1$

${x^{2} + 2 x + 1 + 9 x^{2} - 15 x + 25 = 6 y = 3 x - 1$

${10 x^{2} - 13 x + 26 = 6 ∣ - 6 y = 3 x - 1$

${10 x^{2} - 13 x + 20 = 0 y = 3 x - 1$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 13)^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 20 = 169 - 800 = - 631 < 0$

Równanie kwadratowe nie ma rozwiązań.

Prosta nie przecina okręgu w żadnym punkcie.

d) Wyznaczamy współrzędne punktów wspólnych okręgu i prostej.

${(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 8 y = 3 x - 1$

${(x - 2)^{2} + (3 x - 1 + 1)^{2} = 8 y = 3 x - 1$

${(x - 2)^{2} + (3 x)^{2} = 8 y = 3 x - 1$

${x^{2} - 4 x + 4 + 9 x^{2} = 8 y = 3 x - 1$

${10 x^{2} - 4 x + 4 = 8 ∣ - 8 y = 3 x - 1$

${10 x^{2} - 4 x - 4 = 0 ∣ : 2 y = 3 x - 1$

${5 x^{2} - 2 x - 2 = 0 y = 3 x - 1$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 2) = 4 + 40 = 44$

Wyznaczamy pierwiastki.

$x_{1} = \frac{- ( - 2 ) - 44}{2 \cdot 5} = \frac{2 - 2 11}{10} = \frac{1 - 11}{5}$

$x_{2} = \frac{- ( - 2 ) + 44}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 2 11}{10} = \frac{1 + 11}{5}$

Mamy więc:

${x = \frac{1 - 11}{5} y = 3 x - 1 lub {x = \frac{1 + 11}{5} y = 3 x - 1$

${x = \frac{1 - 11}{5} y = 3 \cdot \frac{1 - 11}{5} - 1 lub {x = \frac{1 + 11}{5} y = 3 \cdot \frac{1 + 11}{5} - 1$

${x = \frac{1 - 11}{5} y = \frac{3 - 3 11}{5} - 1 lub {x = \frac{1 + 11}{5} y = \frac{3 + 3 11}{5} - 1$

${x = \frac{1 - 11}{5} y = \frac{3 - 3 11}{5} - \frac{5}{5} lub {x = \frac{1 + 11}{5} y = \frac{3 + 3 11}{5} - \frac{5}{5}$

${x = \frac{1 - 11}{5} y = \frac{3 - 3 11 - 5}{5} lub {x = \frac{1 + 11}{5} y = \frac{3 + 3 11 - 5}{5}$

${x = \frac{1 - 11}{5} y = \frac{- 2 - 3 11}{5} lub {x = \frac{1 + 11}{5} y = \frac{- 2 + 3 11}{5}$

Szukane punkty mają współrzędne:

$(\frac{1 - 11}{5}, \frac{- 2 - 3 11}{5}) (\frac{1 + 11}{5}, \frac{- 2 + 3 11}{5})$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Punkt przecięcia prostych i wzajemne położenie dwóch prostych

Premium

15:06

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Miejsce zerowe i punkt wspólny wykresu funkcji liniowej z osią Oy

Premium

12:15

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Miejsce zerowe i punkty wspólne wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych

Premium

11:50

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.