Rozwiąż równanie. ...- Zadanie 20: Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

a) Dziedziną równania wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$5 x - 6 \neq = 0$

$5 x \neq = 6$

$x \neq = \frac{6}{5}$

Zatem:

$D = R \ {\frac{6}{5}}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{2}{5 x - 6} = 3 ∣ - 3$

$\frac{2}{5 x - 6} - 3 = 0$

$\frac{2}{5 x - 6} - \frac{3 ( 5 x - 6 )}{5 x - 6} = 0$

$\frac{2}{5 x - 6} - \frac{15 x - 18}{5 x - 6} = 0$

$\frac{2 - ( 15 x - 18 )}{5 x - 6} = 0$

$\frac{2 - 15 x + 18}{5 x - 6} = 0$

$\frac{- 15 x + 20}{5 x - 6} = 0$

$- 15 x + 20 = 0 ∣ - 20$

$- 15 x = - 20 ∣ : (- 15)$

$x = \frac{4}{3}$

b) Dziedziną równania wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$2 - 3 x \neq = 0$

$- 3 x \neq = - 2$

$x \neq = \frac{2}{3}$

Zatem:

$D = R \ {\frac{2}{3}}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{x}{2 - 3 x} = 2 ∣ - 2$

$\frac{x}{2 - 3 x} - 2 = 0$

$\frac{x}{2 - 3 x} - \frac{2 ( 2 - 3 x )}{2 - 3 x} = 0$

$\frac{x}{2 - 3 x} - \frac{4 - 6 x}{2 - 3 x} = 0$

$\frac{x - ( 4 - 6 x )}{2 - 3 x} = 0$

$\frac{x - 4 + 6 x}{2 - 3 x} = 0$

$\frac{7 x - 4}{2 - 3 x} = 0$

$7 x - 4 = 0 ∣ + 4$

$7 x = 4 ∣ : 7$

$x = \frac{4}{7}$

c) Dziedziną równania wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x + 7 \neq = 0$

$x \neq = - 7$

Zatem:

$D = R \ {- 7}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{- 2 x}{x + 7} = 5 ∣ - 5$

$\frac{- 2 x}{x + 7} - 5 = 0$

$\frac{- 2 x}{x + 7} - \frac{5 ( x + 7 )}{x + 7} = 0$

$\frac{- 2 x}{x + 7} - \frac{5 x + 35}{x + 7} = 0$

$\frac{- 2 x - ( 5 x + 35 )}{x + 7} = 0$

$\frac{- 2 x - 5 x - 35}{x + 7} = 0$

$\frac{- 7 x - 35}{x + 7} = 0$

$- 7 x - 35 = 0 ∣ + 35$

$- 7 x = 35 ∣ : (- 7)$

$x = - 5$

d) Dziedziną równania wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$4 x - 7 \neq = 0$

$4 x \neq = 7$

$x \neq = \frac{7}{4}$

Zatem:

$D = R \ {\frac{7}{4}}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{x + 4}{4 x - 7} = - 1 ∣ + 1$

$\frac{x + 4}{4 x - 7} + 1 = 0$

$\frac{x + 4}{4 x - 7} + \frac{4 x - 7}{4 x - 7} = 0$

$\frac{x + 4 + 4 x - 7}{4 x - 7} = 0$

$\frac{5 x - 3}{4 x - 7} = 0$

$5 x - 3 = 0 ∣ + 3$

$5 x = 3 ∣ : 5$

$x = \frac{3}{5}$

e) Dziedziną równania wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$3 x + 4 \neq = 0$

$3 x \neq = - 4$

$x \neq = - \frac{4}{3}$

Zatem:

$D = R \ {- \frac{4}{3}}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{4 x - 5}{3 x + 4} = - 2 ∣ + 2$

$\frac{4 x - 5}{3 x + 4} + 2 = 0$

$\frac{4 x - 5}{3 x + 4} + \frac{2 ( 3 x + 4 )}{3 x + 4} = 0$

$\frac{4 x - 5}{3 x + 4} + \frac{6 x + 8}{3 x + 4} = 0$

$\frac{4 x - 5 + 6 x + 8}{3 x + 4} = 0$

$\frac{10 x + 3}{3 x + 4} = 0$

$10 x + 3 = 0 ∣ - 3$

$10 x = - 3 ∣ : 10$

$x = - \frac{3}{10}$

f) Dziedziną równania wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$2 x + 5 \neq = 0$

$2 x \neq = - 5$

$x \neq = - \frac{5}{2}$

Zatem:

$D = R \ {- \frac{5}{2}}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{3 - 4 x}{2 x + 5} + 2 = 0$

$\frac{3 - 4 x}{2 x + 5} + \frac{2 ( 2 x + 5 )}{2 x + 5} = 0$

$\frac{3 - 4 x}{2 x + 5} + \frac{4 x + 10}{2 x + 5} = 0$

$\frac{3 - 4 x + 4 x + 10}{2 x + 5} = 0$

$\frac{13}{2 x + 5} = 0$

$13 = 0$

Równanie sprzeczne.

Brak rozwiązań.

g) Dziedziną równania wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x + 2 \neq = 0$

$x \neq = - 2$

Zatem:

$D = R \ {- 2}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{3 - x}{x + 2} - \frac{1}{4} = 0$

$\frac{4 ( 3 - x )}{4 ( x + 2 )} - \frac{x + 2}{4 ( x + 2 )} = 0$

$\frac{12 - 4 x}{4 ( x + 2 )} - \frac{x + 2}{4 ( x + 2 )} = 0$

$\frac{12 - 4 x - ( x + 2 )}{4 ( x + 2 )} = 0$

$\frac{12 - 4 x - x - 2}{4 ( x + 2 )} = 0$

$\frac{10 - 5 x}{4 ( x + 2 )} = 0$

$10 - 5 x = 0 ∣ - 10$

$- 5 x = - 10 ∣ : (- 5)$

$x = 2$

h) Dziedziną równania wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$5 x + 2 \neq = 0$

$5 x \neq = - 2$

$x \neq = - \frac{2}{5}$

Zatem:

$D = R \ {- \frac{2}{5}}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{2}{3} - \frac{3 x + 1}{5 x + 2} = 0$

$\frac{2 ( 5 x + 2 )}{3 ( 5 x + 2 )} - \frac{3 ( 3 x + 1 )}{3 ( 5 x + 2 )} = 0$

$\frac{10 x + 4}{3 ( 5 x + 2 )} - \frac{9 x + 3}{3 ( 5 x + 2 )} = 0$

$\frac{10 x + 4 - ( 9 x + 3 )}{3 ( 5 x + 2 )} = 0$

$\frac{10 x + 4 - 9 x - 3}{3 ( 5 x + 2 )} = 0$

$\frac{x + 1}{3 ( 5 x + 2 )} = 0$

$x + 1 = 0 ∣ - 1$

$x = - 1$

i) Dziedziną równania wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$6 - 4 x \neq = 0$