Określ dziedzinę wyrażenia wymiernego ...- Zadanie 11: Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

a) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x^{3} + 3 x \neq = 0$

$x (x^{2} + 3) \neq = 0$

Iloczyn dwóch liczb jest różny od 0, gdy żadna z tych liczb nie jest równa 0.

$x \neq = 0 \land x^{2} + 3 \neq = 0$

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc liczba $x^{2} + 3$ nie może być równa 0.

Zatem:

$x \in R \ {0}$

Wykonujemy działanie.

$\frac{2}{x ^{3} + 3 x} : 6 = \frac{2}{x ^{3} + 3 x} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{x ^{3} + 3 x} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{( x ^{3} + 3 x ) \cdot 3} = \frac{1}{3 x ^{3} + 9 x}$

b) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$2 - 3 x \neq = 0 \land 2 + 3 x \neq = 0$

$- 3 x \neq = - 2 \land 3 x \neq = - 2$

$x \neq = \frac{2}{3} \land x \neq = - \frac{2}{3}$

Zatem:

$x \in R \ {- \frac{2}{3}, \frac{2}{3}}$

Wykonujemy działanie.

$\frac{2 x ^{2} - 3}{2 - 3 x} : (2 + 3 x) = \frac{2 x ^{2} - 3}{2 - 3 x} \cdot \frac{1}{2 + 3 x} = \frac{2 x ^{2} - 3}{( 2 - 3 x ) ( 2 + 3 x )} = \frac{2 x ^{2} - 3}{4 - 9 x ^{2}}$

c) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x + 1 \neq = 0 \land 3 x - 6 \neq = 0$

$x \neq = - 1 \land 3 x \neq = 6$

$x \neq = - 1 \land x \neq = 2$

Zatem:

$x \in R \ {- 1, 2}$

Wykonujemy działanie.

$\frac{x ^{2} - 4}{x + 1} : (3 x - 6) = \frac{x ^{2} - 4}{x + 1} \cdot \frac{1}{3 x - 6} = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x + 1} \cdot \frac{1}{3 ( x - 2 )} = \frac{x + 2}{x + 1} \cdot \frac{1}{3} = \frac{x + 2}{( x + 1 ) \cdot 3} = \frac{x + 2}{3 x + 3}$

d) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x - 2 \neq = 0 \land 2 x + 1 \neq = 0$

$x \neq = 2 \land 2 x \neq = - 1$

$x \neq = 2 \land x \neq = - \frac{1}{2}$

Zatem:

$x \in R \ {- \frac{1}{2}, 2}$

Wykonujemy działanie.

$(4 x + 1) : \frac{2 x + 1}{x - 2} = (4 x + 1) \cdot \frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{( 4 x + 1 ) ( x - 2 )}{2 x + 1} = \frac{4 x ^{2} - 8 x + x - 2}{2 x + 1} = \frac{4 x ^{2} - 7 x - 2}{2 x + 1}$

e) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x + 3 \neq = 0 \land 5 x \neq = 0$

$x \neq = - 3 \land x \neq = 0$

Zatem:

$x \in R \ {- 3, 0}$

Wykonujemy działanie.

$(5 x^{2} - 25 x) : \frac{5 x}{x + 3} = (5 x^{2} - 25 x) \cdot \frac{x + 3}{5 x} = 5 x (x - 5) \cdot \frac{x + 3}{5 x} = (x - 5) \cdot \frac{x + 3}{1} = (x - 5) (x + 3) = x^{2} + 3 x - 5 x - 15 = x^{2} - 2 x - 15$

f) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x^{4} \neq = 0 \land x - 1 \neq = 0 \land 3 x \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x \neq = 1 \land x \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x \neq = 1$

Zatem:

$x \in R \ {0, 1}$

Wykonujemy działanie.

$\frac{2}{x ^{4}} : \frac{3 x}{x - 1} = \frac{2}{x ^{4}} \cdot \frac{x - 1}{3 x} = \frac{2 ( x - 1 )}{x ^{4} \cdot 3 x} = \frac{2 x - 2}{3 x ^{5}}$

g) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x + 1 \neq = 0 \land x + 4 \neq = 0 \land x - 2 \neq = 0$

$x \neq = - 1 \land x \neq = - 4 \land x \neq = 2$

Zatem:

$x \in R \ {- 4, - 1, 2}$

Wykonujemy działanie.

$\frac{x ^{2} + 1}{x + 1} : \frac{x - 2}{x + 4} = \frac{x ^{2} + 1}{x + 1} \cdot \frac{x + 4}{x - 2} = \frac{( x ^{2} + 1 ) ( x + 4 )}{( x + 1 ) ( x - 2 )} = \frac{x ^{3} + 4 x ^{2} + x + 4}{x ^{2} - 2 x + x - 2} = \frac{x ^{3} + 4 x ^{2} + x + 4}{x ^{2} - x - 2}$

h) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x - 3 \neq = 0 \land x + 1 \neq = 0 \land x + 3 \neq = 0$

$x \neq = 3 \land x \neq = - 1 \land x \neq = - 3$

Zatem:

$x \in R \ {- 3, - 1, 3}$

Wykonujemy działanie.

$\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} : \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 3} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 3} = \frac{1}{1} \cdot \frac{x + 1}{1} = x + 1$

i) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$4 x^{2} + 4 x + 1 \neq = 0 \land 2 x + 1 \neq = 0 \land 2 x \neq = 0$

$(2 x + 1)^{2} \neq = 0 \land 2 x \neq = - 1 \land x \neq = 0$

$2 x + 1 \neq = 0 \land x \neq = - \frac{1}{2} \land x \neq = 0$

$x \neq = - \frac{1}{2} \land x \neq = 0$

Zatem:

$x \in R \ {- \frac{1}{2}, 0}$

Wykonujemy działanie.

$\frac{x + \frac{1}{2}}{4 x ^{2} + 4 x + 1} : \frac{2 x}{2 x + 1} = \frac{x + \frac{1}{2}}{4 x ^{2} + 4 x + 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x} = \frac{x + \frac{1}{2}}{( 2 x + 1 ) ^{2}} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x} = \frac{x + \frac{1}{2}}{2 ( x + \frac{1}{2} )} \cdot \frac{1}{2 x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 x} = \frac{1}{4 x}$