Odcinek łączący środki dwóch boków dowolnego trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i dwa razy od niego krótszy.

Kąty w każdym z tych trójkątów mają takie same miary, więc trójkąty te są podobne (cecha $kkk$ ).

Skala podobieństwa każdych dwóch sąsiednich trójkątów (większego do mniejszego) jest równa:

$k=2$  

Jeśli skala podobieństwa figur podobnych równa się $k,$  to stosunek ich pól jest równy $k^2.$  

Wyznaczamy stosunek pól dwóch sąsiednich trójkątów (większego do mniejszego).

$k^2=2^2=4$  

Oznacza to, że pole większego trójkąta jest 4-krotnie większe od pola mniejszego trójkąta.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$P_1$  - pole największego trójkąta, 

$P_2$  - pole drugiego trójkąta,

$P_3$  - pole trzeciego trójkąta,

$\dots$  

Wiemy, że:

$P_1=1$  

Wobec tego:

$P_2=\frac{1}{4}{P}_1=\frac{1}{4}\cdot 1=\frac{1}{4}$  

$P_3=\frac{1}{4}{P}_2=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{16}$  

Suma pól wszystkich trójkątów równa jest sumie wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie  $P_1=1$  i ilorazie  $q=\frac{1}{4}.$  

$S=P_1+P_2+P_3+\dots =1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\dots$  

Ponieważ  $\left|q\right|<1,$  więc możemy skorzystać ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.

$S=\frac{P_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}$   

Suma pól wszystkich trójkątów wynosi  $\frac{4}{3}.$