a) Spodek wysokości opuszczonej na bok  $BC$  oznaczmy jako  $D.$  

Trójkąty prostokątne  $ABC$  oraz $DAC$  mają wspólny kąt przy wierzchołku $C.$  Dwa kąty w trójkącie $ABC$  mają takie same miary, jak dwa kąty w trójkącie  $DAC,$  więc trójkąty te są podobne (cecha $kkk$ ). 

Trójkąty prostokątne  $ABC$  oraz $DBA$  mają wspólny kąt przy wierzchołku $B.$  Dwa kąty w trójkącie $ABC$  mają takie same miary, jak dwa kąty w trójkącie  $DBA,$  więc trójkąty te są podobne (cecha $kkk$ ).

Stąd wynika, że podobne są trójkąty  $DAC$  oraz  $DBA.$  

Z podobieństwa tych trójkątów otrzymujemy równość:

$\frac{\left|AD\right|}{\left|DC\right|}=\frac{\left|BD\right|}{\left|DA\right|}$  

$\frac{6}{4}=\frac{\left|BD\right|}{6}\mid \cdot 6$  

$9=\left|BD\right|$  

Obliczamy pole trójkąta  $ABC.$  

$P_{ABC}=\frac{\left|BC\right|\cdot \left|AD\right|}{2}=\frac{\left(\left|BD\right|+\left|DC\right|\right)\cdot \left|AD\right|}{2}=\frac{\left(9+4\right)\cdot 6}{2}=13\cdot 3=39$  

---

b) Spodek wysokości opuszczonej na bok  $BC$  oznaczmy jako  $D.$  

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość odcinka  $AD.$  

${\left|AD\right|}^2+{\left|DC\right|}^2={\left|AC\right|}^2$  

${\left|AD\right|}^2+4^2=6^2$  

${\left|AD\right|}^2+16=36\mid -16$  

${\left|AD\right|}^2=20$  

$\left|AD\right|=\sqrt{20}$  

$\left|AD\right|=2\sqrt{5}$  

Trójkąty prostokątne  $ABC$  oraz $DAC$  mają wspólny kąt przy wierzchołku $C.$  Dwa kąty w trójkącie $ABC$  mają takie same miary, jak dwa kąty w trójkącie  $DAC,$  więc trójkąty te są podobne (cecha $kkk$ ).

Trójkąty prostokątne  $ABC$  oraz $DBA$  mają wspólny kąt przy wierzchołku $B.$  Dwa kąty w trójkącie $ABC$  mają takie same miary, jak dwa kąty w trójkącie  $DBA,$  więc trójkąty te są podobne (cecha $kkk$ ).

Stąd wynika, że podobne są trójkąty  $DAC$  oraz  $DBA.$  

Z podobieństwa tych trójkątów otrzymujemy równość:

$\frac{\left|AD\right|}{\left|DC\right|}=\frac{\left|BD\right|}{\left|DA\right|}$  

$\frac{2\sqrt{5}}{4}=\frac{\left|BD\right|}{2\sqrt{5}}\mid \cdot 2\sqrt{5}$  

$5=\left|BD\right|$  

Obliczamy pole trójkąta  $ABC.$  

$P_{ABC}=\frac{\left|BC\right|\cdot \left|AD\right|}{2}=\frac{\left(\left|BD\right|+\left|DC\right|\right)\cdot \left|AD\right|}{2}=\frac{\left(5+4\right)\cdot 2\sqrt{5}}{2}=9\cdot \sqrt{5}=9\sqrt{5}$