Przedstaw iloraz jako jedno wyrażenie ...- Zadanie 9: Matematyka z plusem 3. Ćwiczenia podstawowe

Rozwiązanie

a) $\frac{3 x + 2}{3 x - 1} : \frac{15 x + 10}{2 x} = \frac{3 x + 2}{3 x - 1} \cdot \frac{2 x}{15 x + 10} = \frac{3 x + 2}{3 x - 1} \cdot \frac{2 x}{5 ( 3 x + 2 )} = \frac{1}{3 x - 1} \cdot \frac{2 x}{5} = \frac{1 \cdot 2 x}{( 3 x - 1 ) \cdot 5} = \frac{2 x}{15 x - 5}$

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$3 x - 1 \neq = 0 \land 2 x \neq = 0 \land 15 x + 10 \neq = 0$

$3 x \neq = 1 \land x \neq = 0 \land 15 x \neq = - 10$

$x \neq = \frac{1}{3} \land x \neq = 0 \land x \neq = - \frac{2}{3}$

Dziedzina: $3 x - 1 \neq = 0,$ $2 x \neq = 0$ i $15 x + 10 \neq = 0,$ zatem $x \neq = \frac{1}{3},$ $x \neq = 0$ i $x \neq = - \frac{2}{3} .$

b) $\frac{7 x}{6 x - 4} : \frac{7 x - 14}{3 x - 2} = \frac{7 x}{6 x - 4} \cdot \frac{3 x - 2}{7 x - 14} = \frac{7 x}{2 ( 3 x - 2 )} \cdot \frac{3 x - 2}{7 x - 14} = \frac{7 x}{2} \cdot \frac{1}{7 x - 14} = \frac{7 x \cdot 1}{2 \cdot ( 7 x - 14 )} = \frac{7 x}{14 x - 28}$

$6 x - 4 \neq = 0 \land 3 x - 2 \neq = 0 \land 7 x - 14 \neq = 0$

$6 x \neq = 4 \land 3 x \neq = 2 \land 7 x \neq = 14$

$x \neq = \frac{2}{3} \land x \neq = \frac{2}{3} \land x \neq = 2$

$x \neq = \frac{2}{3} \land x \neq = 2$

Dziedzina: $6 x - 4 \neq = 0,$ $3 x - 2 \neq = 0$ i $7 x - 14 \neq = 0,$ zatem $x \neq = \frac{2}{3},$ i $x \neq = 2 .$

c) $\frac{4 x - 10}{x + 4} : \frac{2 x ( 2 x - 5 )}{x - 4} = \frac{4 x - 10}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{2 x ( 2 x - 5 )} = \frac{2 ( 2 x - 5 )}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{2 x ( 2 x - 5 )} = \frac{1}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x} = \frac{1 \cdot ( x - 4 )}{( x + 4 ) \cdot x} = \frac{x - 4}{x ^{2} + 4 x}$

$x + 4 \neq = 0 \land x - 4 \neq = 0 \land 2 x (2 x - 5) \neq = 0$

$x \neq = - 4 \land x \neq = 4 \land 2 x \neq = 0 \land 2 x - 5 \neq = 0$

$x \neq = - 4 \land x \neq = 4 \land x \neq = 0 \land 2 x \neq = 5$

$x \neq = - 4 \land x \neq = 4 \land x \neq = 0 \land x \neq = \frac{5}{2}$

Dziedzina: $x + 4 \neq = 0,$ $x - 4 \neq = 0$ i $2 x (2 x - 5) \neq = 0,$ zatem $x \neq = - 4,$ $x \neq = 4,$ $x \neq = 0$ i $x \neq = \frac{5}{2} .$

d) $\frac{6 x ( 2 - x )}{2 - 4 x} : \frac{3 x ( 1 - 2 x )}{2 x - 1} = \frac{6 x ( 2 - x )}{2 - 4 x} \cdot \frac{2 x - 1}{3 x ( 1 - 2 x )} = \frac{2 ( 2 - x )}{2 ( 1 - 2 x )} \cdot \frac{2 x - 1}{- ( 2 x - 1 )} = \frac{2 - x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{- 1} = \frac{( 2 - x ) \cdot 1}{( 1 - 2 x ) \cdot ( - 1 )} = \frac{2 - x}{2 x - 1}$

$2 - 4 x \neq = 0 \land 2 x - 1 \neq = 0 \land 3 x (1 - 2 x) \neq = 0$

$- 4 x \neq = - 2 \land 2 x \neq = 1 \land 3 x \neq = 0 \land 1 - 2 x \neq = 0$

$x \neq = \frac{1}{2} \land x \neq = \frac{1}{2} \land x \neq = 0 \land - 2 x \neq = - 1$

$x \neq = \frac{1}{2} \land x \neq = 0 \land x \neq = \frac{1}{2}$

$x \neq = \frac{1}{2} \land x \neq = 0$

Dziedzina: $2 - 4 x \neq = 0,$ $2 x - 1 \neq = 0$ i $3 x (1 - 2 x) \neq = 0,$ zatem $x \neq = \frac{1}{2}$ i $x \neq = 0 .$

e) $\frac{( x - 4 ) ( 2 x - 3 )}{5 x ( 6 x - 5 )} : \frac{5 ( 2 x - 3 )}{3 x ( 6 x - 5 )} = \frac{( x - 4 ) ( 2 x - 3 )}{5 x ( 6 x - 5 )} \cdot \frac{3 x ( 6 x - 5 )}{5 ( 2 x - 3 )} = \frac{x - 4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{( x - 4 ) \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{5 x - 20}{25}$

$5 x (6 x - 5) \neq = 0 \land 3 x (6 x - 5) \neq = 0 \land 5 (2 x - 3) \neq = 0$

$5 x \neq = 0 \land 6 x - 5 \neq = 0 \land 3 x \neq = 0 \land 6 x - 5 \neq = 0 \land 2 x - 3 \neq = 0$

$x \neq = 0 \land 6 x \neq = 5 \land x \neq = 0 \land 6 x \neq = 5 \land 2 x \neq = 3$

$x \neq = 0 \land x \neq = \frac{5}{6} \land x \neq = \frac{5}{6} \land x \neq = \frac{3}{2}$

$x \neq = 0 \land x \neq = \frac{3}{2}$

Dziedzina: $5 x (6 x - 5) \neq = 0,$ $3 x (6 x - 5) \neq = 0$ i $5 (2 x - 3) \neq = 0,$ zatem $x \neq = 0$ i $x \neq = \frac{3}{2} .$

f) $\frac{- 7 x ( 3 + 5 x )}{( x + 7 ) ( 2 x - 1 )} : \frac{( 10 x + 6 ) ( 3 x - 4 )}{( 3 x - 4 ) ( 4 x - 2 )} = \frac{- 7 x ( 3 + 5 x )}{( x + 7 ) ( 2 x - 1 )} \cdot \frac{( 3 x - 4 ) ( 4 x - 2 )}{( 10 x + 6 ) ( 3 x - 4 )} = \frac{- 7 x ( 3 + 5 x )}{( x + 7 ) ( 2 x - 1 )} \cdot \frac{( 3 x - 4 ) \cdot 2 ( 2 x - 1 )}{2 ( 5 x + 3 ) ( 3 x - 4 )} = \frac{- 7 x}{x + 7} \cdot \frac{1}{1} = - \frac{7 x}{x + 7}$

$(x + 7) (2 x - 1) \neq = 0 \land (3 x - 4) (4 x - 2) \neq = 0 \land (10 x + 6) (3 x - 4) \neq = 0$

$x + 7 \neq = 0 \land 2 x - 1 \neq = 0 \land 3 x - 4 \neq = 0 \land 4 x - 2 \neq = 0 \land 10 x + 6 \neq = 0 \land 3 x - 4 \neq = 0$

$x \neq = - 7 \land 2 x \neq = 1 \land 3 x \neq = 4 \land 4 x \neq = 2 \land 10 x \neq = - 6 \land 3 x \neq = 4$

$x \neq = - 7 \land x \neq = \frac{1}{2} \land x \neq = \frac{4}{3} \land x \neq = \frac{1}{2} \land x \neq = - \frac{3}{5} \land x \neq = \frac{4}{3}$

$x \neq = - 7 \land x \neq = \frac{1}{2} \land x \neq = \frac{4}{3} \land x \neq = - \frac{3}{5}$

Dziedzina: $(x + 7) (2 x - 1) \neq = 0,$ $(3 x - 4) (4 x - 2) \neq = 0$ i $(10 x + 6) (3 x - 4) \neq = 0,$ zatem $x \neq = - 7,$ $x \neq = \frac{1}{2},$ $x \neq = \frac{4}{3}$ i $x \neq = - \frac{3}{5} .$