a)  $\frac{\left(5x^2-10x\right)\left(2x+1\right)}{\left(3x-6\right)\left(x+1\right)}=\frac{5x\left(\mathbf{x}-2\right)\left(2x+1\right)}{3\left(\mathbf{x}-2\right)\left(x+1\right)}=\frac{10{\mathbf{x}}^2+5\mathbf{x}}{3x+3}$  

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

$\left(3x-6\right)\left(x+1\right)\ne 0$  

$3x-6\ne 0\wedge x+1\ne 0$  

$3x\ne 6\wedge x\ne -1$  

$x\ne 2\wedge x\ne -1$  

Dziedzina:  $3\mathbf{x}-6\ne 0$   i   $\mathbf{x}+1\ne 0,$  zatem  $\mathbf{x}\ne 2$   i   $\mathbf{x}\ne -1.$  

---

b)  $\frac{\left(8x^2+4x\right)\left(x-3\right)}{\left(2x+5\right)\left(10x+5\right)}=\frac{4\mathbf{x}\left(2\mathbf{x}+1\right)(\mathbf{x}-3)}{\left(2\mathbf{x}+5\right)\cdot 5\left(2\mathbf{x}+1\right)}=\frac{4\mathbf{x}(\mathbf{x}-3)}{10\mathbf{x}+25}$  

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$\left(2x+5\right)\left(10x+5\right)\ne 0$  

$2x+5\ne 0\wedge 10x+5\ne 0$  

$2x\ne -5\wedge 10x\ne -5$  

$x\ne -\frac{5}{2}\wedge x\ne -\frac{1}{2}$  

Dziedzina:  $2\mathbf{x}+5\ne 0$   i   $10\mathbf{x}+5\ne 0,$  zatem  $\mathbf{x}\ne -\frac{5}{2}$   i   $\mathbf{x}\ne -\frac{1}{2}.$  

---

c)  $\frac{x^2-9}{x^2+3x}=\frac{\left(x-3\right)\left(\mathbf{x}+3\right)}{x\left(\mathbf{x}+3\right)}=\frac{\mathbf{x}-3}{\mathbf{x}}$  

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x^2+3x\ne 0$  

$x\left(x+3\right)\ne 0$  

$x\ne 0\wedge x+3\ne 0$  

$x\ne 0\wedge x\ne -3$  

Dziedzina:  ${\mathbf{x}}^2+3\mathbf{x}\ne 0,$  zatem  $\mathbf{x}\ne 0$   i   $\mathbf{x}\ne -3.$  

---

d)  $\frac{x^2-5x}{x^2-25}=\frac{\mathbf{x}\left(\mathbf{x}-5\right)}{\left(\mathbf{x}-5\right)\left(\mathbf{x}+5\right)}=\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{x}+5}$  

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x^2-25\ne 0$  

$\left(x-5\right)\left(x+5\right)\ne 0$  

$x-5\ne 0\wedge x+5\ne 0$  

$x\ne 5\wedge x\ne -5$  

Dziedzina:  ${\mathbf{x}}^2-25\ne 0,$  zatem  $\mathbf{x}\ne 5$   i   $\mathbf{x}\ne -5.$