Udowodnij tożsamość...- Zadanie 5.16.: Prosto do matury 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

a) Założenia

$sin^{2} α \neq = 0 \land cos^{2} α \neq = 0 sin α \neq = 0 \land cos α \neq = 0 α \neq = kπ \land α \neq = \frac{π}{2} + kπ, k \in Z$

Mamy

$L = [\frac{( 1 - sin α ) ( 1 + sin α )}{sin ^{2} α} + \frac{( 1 - cos α ) ( 1 + cos α )}{cos ^{2} α}] \cdot (\frac{1}{sin ^{2} α cos ^{2} α} - 2)^{- 1} = [\frac{1 - sin ^{2} α}{sin ^{2} α} + \frac{1 - cos ^{2} α}{cos ^{2} α}] \cdot (\frac{1}{sin ^{2} α cos ^{2} α} - \frac{2 sin ^{2} α cos ^{2} α}{sin ^{2} α cos ^{2} α})^{- 1} = [\frac{cos ^{2} α}{sin ^{2} α} + \frac{sin ^{2} α}{cos ^{2} α}] \cdot (\frac{1 - 2 sin ^{2} α cos ^{2} α}{sin ^{2} α cos ^{2} α})^{- 1} = [\frac{cos ^{4} α + sin ^{4} α}{sin ^{2} α cos ^{2} α}] \cdot \frac{sin ^{2} α cos ^{2} α}{1 - 2 sin ^{2} α cos ^{2} α}$

Zauważmy, że

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1 ∣^{(2)}$

$sin^{4} α + 2 sin^{2} α cos^{2} α + cos^{4} α = 1$

$sin^{4} α + cos^{4} α = 1 - 2 sin^{2} α cos^{2} α$

A stąd

$L = \frac{sin ^{4} α + cos ^{4} α}{sin ^{4} α + cos ^{4} α} = 1 = P$

b) Założenia

$1 + cos α \neq = 0 \land 1 - cos α \neq = 0 \land sin α \neq = 0 cos α \neq = - 1 \land cos α \neq = 1 \land sin α \neq = 0 α \neq = π + 2 kπ \land α \neq = 2 kπ \land α \neq = kπ, k \in Z$

Stąd

$α \neq = kπ, k \in Z$

Mamy

$L = (\frac{1 - cos α}{1 + cos α} + \frac{1 + cos α}{1 - cos α})^{2} = \frac{1 - cos α}{1 + cos α} + 2 \cdot 1 + \frac{1 + cos α}{1 - cos α} = \frac{1 - cos α}{1 + cos α} + \frac{1 + cos α}{1 - cos α} + 2 = \frac{( 1 - cos α ) ^{2}}{1 - cos ^{2} α} + \frac{( 1 + cos α ) ^{2}}{1 - cos ^{2} α} + 2 = \frac{1 - 2 cos α + cos ^{2} α + 1 + 2 cos α + cos ^{2} α}{1 - cos ^{2} α} + 2 = \frac{2 + 2 cos ^{2} α}{sin ^{2} α} + \frac{2 sin ^{2} α}{sin ^{2} α} = \frac{2 + 2 ( sin ^{2} α + cos ^{2} α )}{sin ^{2} α} = \frac{4}{sin ^{2} α} = P$