Wyznacz wartość najmniejszą oraz...- Zadanie 47.: Prosto do matury 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Zbadamy przebieg zmienności funkcji w podanym przedziale.

$x^{2} + x + 1 \neq = 0$

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = - 3 < 0$

$D_{f} = R$

$f^{'} (x) = \frac{( x - 1 ) ^{'} ( x ^{2} + x + 1 ) - ( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 ) ^{'}}{( x ^{2} + x + 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + x + 1 - ( x - 1 ) ( 2 x + 1 )}{( x ^{2} + x + 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + x + 1 - 2 x ^{2} - x + 2 x + 1}{( x ^{2} + x + 1 ) ^{2}} = \frac{- x ^{2} + 2 x + 2}{( x ^{2} + x + 1 ) ^{2}}$

Zauważmy, że dla każdej liczby rzeczywistej spełniona jest nierówność

$(x^{2} + x + 1)^{2} > 0$

Zatem badamy znak licznika

$f^{'} (x) > 0$

$- x^{2} + 2 x + 2 > 0$

$Δ = 2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2 = 4 + 8 = 12, Δ = 23$

$x = \frac{- 2 - 2 3}{- 2} = 1 + 3 > 2$

$x = \frac{- 2 + 2 3}{- 2} = 1 - 3 \in ⟨ - 2, 2 ⟩$

Stąd

$f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (1 - 3, 1 + 3)$

$f^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty, 1 - 3) \cup (1 + 3, + \infty)$

Zatem w naszym przedziale funkcja maleje w

$⟨ - 2, 1 - 3 ⟩$

a potem rośnie w

$⟨ 1 - 3, 2 ⟩$

Liczymy wartość funkcji w minimum lokalnym oraz na końcach przedziału (w poszukiwaniu maksimum)

$x_{min} = 1 - 3$

$y_{min} = f (x_{min}) = f (1 - 3) = \frac{1 - 3 - 1}{( 1 - 3 ) ^{2} + 1 - 3 + 1} = \frac{- 3}{1 - 2 3 + 3 + 2 - 3} = \frac{- 3}{6 - 3 3} = \frac{3}{3 ( 3 - 2 )} \cdot \frac{3 + 2}{3 + 2} = \frac{3 ( 3 + 2 )}{3 \cdot ( 3 - 4 )} = \frac{3 + 2 3}{- 3} = \frac{- 3 - 2 3}{3}$