Rysunek pomocniczy:

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy: 

${\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+{\left(h-R\right)}^2=R^2$  

$\frac{1}{4}{a}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}-R\right)}^2=R^2$  

$\frac{1}{4}{a}^2+\frac{3a^2}{4}-2R\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}+R^2=R^2\mid -R^2$  

$\frac{1}{4}{a}^2-Ra\sqrt{3}+\frac{3}{4}{a}^2=0$  

$a^2-Ra\sqrt{3}=0\mid :a$  

$a=R\sqrt{3}$  

 

Z treści zadania wiemy, że:

$R+H=2$  

$H=2-R$  

gdzie H - wysokość ostrosłupa

 

Wyznaczmy objętość ostrosłupa w zależności od wartości R.

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H$  

$V\left(R\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3R^2\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot \left(2-R\right)$  

$V\left(R\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}{R}^2-\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^3$  

Wyznaczmy pochodną tej funkcji.

$V{}^{\prime }\left(R\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2R-\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 3R^2$  

$V{}^{\prime }\left(R\right)=\sqrt{3}R-\frac{3\sqrt{3}}{4}{R}^2$  

Sprawdźmy kiedy V'(R)>0, czyli kiedy funkcja V(R) jest rosnąca.

$V{}^{\prime }\left(R\right)>0$  

$\sqrt{3}R-\frac{3\sqrt{3}}{4}{R}^2>0\mid :\sqrt{3}$  

$R-\frac{3}{4}{R}^2>0\mid \cdot \left(-\frac{4}{3}\right)$  

$R^2-\frac{4}{3}R<0$  

$R\left(R-\frac{4}{3}\right)<0$  

$R\in \left(0,\frac{4}{3}\right)$  

Łatwo zauważyć, że dla  $V{}^{\prime }\left(R\right)=0\iff R=0\vee R=\frac{4}{3}$  

Budujemy tabelkę zmienności funkcji uwzględniając założenia.

$R$	$\left(0,\frac{4}{3}\right)$	$\frac{4}{3}$	$\left(\frac{4}{3},+\infty \right)$
$V{}^{\prime }\left(R\right)$	+	$0$	-
$V{}^{\prime }\left(R\right)$	rosnąca	maksimum	malejąca

Zatem dla  $R=\frac{4}{3}$   objętość ostrosłupa jest największa.