$f\left(x\right)={\left|x\right|}^3$  

Zauważmy, że:

$f\left(0\right)={\left|0\right|}^3=0$  

 

Wykażemy, że istnieje granica ilorazu różnicowego w punkcie 0. 

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left|h\right|}^3}{h}$  

Obliczając pochodne jednostronne mamy:

$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\left|h\right|}^3}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{h^3}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }{h}^2=0$  

$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{{\left|h\right|}^3}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{-h^3}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\left(-h^2\right)=0$  

Pokazaliśmy, że:

$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\left|h\right|}^3}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{{\left|h\right|}^3}{h}$  

Zatem funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie x₀=0.