Będziemy korzystać ze wzorów na pole trójkąta

$P=pr$

$P=\frac{abc}{4R}$

$P=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$

 

a) Najpierw obliczmy pole trójkąta

$P=\sqrt{\frac{4+8+8}{2}{\left(\frac{4+8+8}{2}-8\right)}^2\left(\frac{4+8+8}{2}-4\right)}$  

$P=\sqrt{\frac{20}{2}{\left(\frac{20}{2}-8\right)}^2\left(\frac{20}{2}-4\right)}$  

$P=\sqrt{10\cdot 2^2\cdot 6}$  

$P=\sqrt{60\cdot 4}$  

$P=4\sqrt{15}$  

Mamy zatem

$4\sqrt{15}=10\cdot r\mid :10$  

$r=\frac{2\sqrt{15}}{5}\left[\text{cm}\right]$  

$4\sqrt{15}=\frac{\cancel{4}\cdot 8\cdot 8}{\cancel{4}\cdot R}\mid \cdot R$  

$4\sqrt{15}R=64\mid :4\sqrt{15}$  

$R=\frac{16}{\sqrt{15}}\cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$  

$R=\frac{16\sqrt{15}}{15}\left[\text{cm}\right]$  

---

b) Rysunek poglądowy

Zauważmy, że ze wzoru na pole możemy obliczyć sinus kąta miedzy ramionami, tj. kąta ACB.

$\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 8\cdot \sin \alpha =4\sqrt{15}$  

$32\sin \alpha =4\sqrt{15}\mid :32$  

$\sin \alpha =4\sqrt{15}\mid :32$  

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{8}$  

W trójkącie prostokątnym

$\sin \alpha =\frac{\left|DE\right|}{\left|CE\right|}$  

Zatem

$\frac{\left|DE\right|}{\left|CE\right|}=\frac{\sqrt{15}}{8}\text{|}\cdot \left|CE\right|$  

$\left|DE\right|=\frac{\sqrt{15}}{8}\left|CE\right|$

Z twierdzenia Pitagorasa mamy

${\left|CE\right|}^2={\left|DE\right|}^2+4^2$  

${\left|CE\right|}^2={\left(\frac{\sqrt{15}}{8}\left|CE\right|\right)}^2+4^2$  

${\left|CE\right|}^2=\frac{15}{64}{\left|CE\right|}^2+16\text{|}-\frac{15}{64}{\left|CE\right|}^2$

$\frac{49}{64}{\left|CE\right|}^2=16\mid \cdot \frac{64}{49}$

${\left|CE\right|}^2=\frac{1024}{49}$

$\left|CE\right|=\frac{32}{7}$  

Zatem pole trójkąta DCE

$P_{DCE}=\frac{1}{2}\left|CD\right|\left|CE\right|\sin \alpha =\frac{1}{\cancel{2}}\cdot {\cancel{4}}^2\cdot \frac{{\cancel{32}}^4}{7}\cdot \frac{\sqrt{15}}{\cancel{8}}=\frac{8\sqrt{15}}{7}$  

Pole czworokąta ABED

$P_{ABED}=P_{ABC}-P_{DCE}=4\sqrt{15}-\frac{8\sqrt{15}}{7}=\frac{28\sqrt{15}}{7}-\frac{8\sqrt{15}}{7}=\frac{20\sqrt{15}}{7}$  

Stosunek pól wynosi

$\frac{P_{DCE}}{P_{ABED}}=\frac{8\sqrt{15}}{7}:\frac{20\sqrt{15}}{7}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$