Przypomnijmy:

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny o wyrazie ogólnym  $a_n=a_1\cdot q^{n-1},a_1\ne 0.$  

Szereg geometryczny $\left(S_n\right)$   jest zbieżny i ma sumę  $S=\frac{a_1}{1-q}$   wtedy i tylko wtedy, gdy  $\left|q\right|<1.$  

---

$\text{a)}$  

$\left|q\right|<1$  

$\left|m-2\right|<1$  

$-1<m-2<1$      

$1<m<3$  

$m\in \left(1,3\right)$  

 

$S=\frac{a_1}{1-q}$  

$S=\frac{1}{1-\left(m-2\right)}$  

$S=\frac{1}{1-m+2}$  

$S=\frac{1}{3-m}$  

---

$\text{b)}$  

Zauważmy, że dla  $a_1=0$   otrzymujemy ciąg  $0,0,0,\dots .$  

Jest to ciąg zbieżny.

 

 

$\left|q\right|<1$  

$\left|m^2+m\right|<1$  

$-1<m^2+m<1$  

$-1<m^2+m\text{i}{m}^2+m<1$  

$0<m^2+m+1\text{i}{m}^2+m-1<0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 1<0\text{i}\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=5$  

$m_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$  

$m_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$  

$m\in \left(\frac{-1-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)$  

 

$S=\frac{a_1}{1-q}$  

$S=\frac{m}{1-\left(m^2+m\right)}$  

$S=\frac{m}{1-m^2-m}$  

---

$\text{c)}$  

Zauważmy, że dla  $a_1=0$   otrzymujemy ciąg  $0,0,0,\dots .$  

Jest to ciąg zbieżny.

Zał:

$m-3\ge 0$  

$m\ge 3$  

$m\in ⟨3,+\infty )$  

 

$S=\frac{a_1}{1-q}$  

$S=\frac{\sqrt{m-3}}{1-0,5}$  

$S=\frac{\sqrt{m-3}}{\frac{1}{2}}$  

$S=2\sqrt{m-3}$  

---

$\text{d)}$  

Zauważmy, że dla  $a_1=0$   otrzymujemy ciąg  $0,0,0,\dots .$  

Jest to ciąg zbieżny.

Zał:

$2-m^2\ge 0$  

$m^2-2\le 0$  

$\left(m-\sqrt{2}\right)\left(m+\sqrt{2}\right)\le 0$  

$m\in ⟨-\sqrt{2},\sqrt{2}⟩$  

oraz

$\left|q\right|<1$  

$\left|\frac{1}{m}\right|<1$  

$-1<\frac{1}{m}<1$  

$-m^2<1<m^2$  

$-m^2<1\text{i}1<m^2$  

$-m^2-1<0\text{i}0<m^2-1$  

$m^2+1>0\text{i}0<\left(m-1\right)\left(m+1\right)$  

$m\in \mathbb{R}\text{i}m\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

Zatem ostatecznie:

$m\in ⟨-\sqrt{2},-1)\cup (1,\sqrt{2}⟩$  

 

$S=\frac{a_1}{1-q}$  

$S=\frac{\sqrt{2-m^2}}{1-\frac{1}{m}}$  

$S=\frac{\sqrt{2-m^2}}{\frac{m-1}{m}}$  

$S=\frac{m\sqrt{2-m^2}}{m-1}$