Zapiszmy

$\{\begin{array}{l}x=\frac{4+x+y}{2}\mid \cdot 2\\ x+y=\frac{x+z}{2}\mid \cdot 2\\ z^2=8x\cdot y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2x=4+x+y\mid -x\\ 2x+2y=x+z\mid -x\\ z^2=8xy\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=4+y\\ x+2y=z\\ z^2=8xy\end{array}$  

Podstawimy pierwsze równanie do pozostałych.

$\{\begin{array}{l}x=4+y\\ 4+y+2y=z\\ z^2=8\left(4+y\right)y\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=4+y\\ 4+3y=z\\ z^2=8\left(4+y\right)y\end{array}$

Podstawimy drugie równanie do trzeciego.

$\{\begin{array}{l}x=4+y\\ 4+3y=z\\ {\left(4+3y\right)}^2=8\left(4+y\right)y\end{array}$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe

${\left(4+3y\right)}^2=8\left(4+y\right)y$  

$16+24y+9y^2=32y+8y^2\mid -8y^2-32y$  

$16-8y+y^2=0$  

${\left(y-4\right)}^2=0$  

Stąd

$y=4$

$x=4+4=8$

$z=4+3\cdot 4=4+12=16$