Zbadaj monotoniczność ciągu...- Zadanie 40.: Prosto do matury 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) a_{n + 1} = 3 (n + 1) - 100 = 3 n + 3 - 100 = 3 n - 97$

Zbadajmy znak różnicy dowolnych dwóch kolejnych wyrazów podanego ciągu:

$a_{n + 1} - a_{n} = 3 n - 97 - (3 n - 100) = 3 n - 97 - 3 n + 100 = 3$

A więc różnica tych wyrazów jest stale większa od 0, zatem ciąg jest rosnący.

$b) a_{n} = \frac{3 n - 1}{n} = \frac{3 n}{n} - \frac{1}{n} = 3 - \frac{1}{n}$

Wyznaczmy kolejny wyraz tego ciągu:

$a_{n + 1} = 3 - \frac{1}{n + 1}$

Zbadajmy różnicę:

$a_{n + 1} - a_{n} = 3 - \frac{1}{n + 1} - (3 - \frac{1}{n}) = 3 - \frac{1}{n + 1} - 3 + \frac{1}{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1}{n ( n + 1 )} - \frac{n}{n ( n + 1 )} = \frac{n + 1 - n}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n ( n + 1 )} > 0$

Zauważmy, że w mianowniku mamy iloczyn dwóch dodatnich liczb, zatem ciąg jest rosnący.

c) Zauważmy, że wyrażenie:

$(- 2)^{n}$

W zależności od tego czy n będzie parzyste bądź nieparzyste, będzie dodatnie bądź ujemne, zatem ciąg nie jest monotoniczny.

$d) a_{n + 1} = 2 + 4 (n + 1) - (n + 1)^{2} = 2 + 4 n + 4 - (n^{2} + 2 n + 1) = 2 + 4 n + 4 - n^{2} - 2 n - 1 = - n^{2} + 2 n + 5$

Zbadajmy różnicę dwóch kolejnych wyrazów:

$a_{n + 1} - a_{n} = - n^{2} + 2 n + 5 - (2 + 4 n - n^{2}) = - n^{2} + 2 n + 5 - 2 - 4 n + n^{2} = - 2 n + 3$

Zauważmy, że:

${a_{n + 1} - a_{n} > 0 a_{n + 1} - a_{n} < 0 dla n = 1 dla n \in {2, 3, 4, \dots}$

Ciąg nie jest monotoniczny.

$e) a_{n + 1} = 2^{- (n + 1)} = 2^{- n - 1}$

Zbadajmy iloraz dwóch kolejnych wyrazów ciągu:

$\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{2 ^{- n - 1}}{2 ^{- n}} = 2^{- n - 1 - (- n)} = 2^{- n - 1 + n} = 2^{- 1} = \frac{1}{2} < 1$

Iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest mniejszy od 1, zatem ciąg jest malejący.

$f) a_{n + 1} = 2 + \frac{1}{n + 1 + 1} = 2 + \frac{1}{n + 2}$

Zbadajmy różnicę dwóch kolejnych wyrazów:

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 + \frac{1}{n + 2} - (2 + \frac{1}{n + 1}) = 2 + \frac{1}{n + 2} - 2 - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1 - ( n + 2 )}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{n + 1 - n - 2}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{- 1}{( n + 1 ) ( n + 2 )}$