Zauważmy że w każdym wierszu tej tablicy zapisujemy n liczby. Każdy z ciągów, które są wierszami tworzy ciąg arytmetyczny o różnicy n.

Obliczmy sumę wyrazów z w początkowych wierszach

$S_n^1=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{1}{2}\left(1+n\right)n$  

$S_n^2=\frac{2+2n}{2}\cdot n=\left(1+n\right)n$

$S_n^2=\frac{3+3n}{2}\cdot n=\frac{3}{2}\left(1+n\right)n$  

... itd.

Zauważmy, że sumy poszczególnych wierszy to również wyrazy ciągu arytmetycznego, jego różnica to

$r_S=\frac{1}{2}\left(1+n\right)n$  

Ten ciąg sum ma n wyrazów, pierwszy to

$a_1=S_n^1$  

A ostatni to

$a_n=S_n^n=\frac{n+n^2}{2}\cdot n=\frac{\left(n+n^2\right)n}{2}$  

Zatem

$S=\frac{\frac{\left(1+n\right)n}{2}+\frac{\left(n+n^2\right)n}{2}}{2}\cdot n=\frac{\left(1+n\right)n+\left(n+n^2\right)n}{4}\cdot n=\frac{n+n^2+n^2+n^3}{4}\cdot n=\frac{n^2+n^3+n^3+n^4}{4}=\frac{n^2+2n^3+n^4}{4}=\frac{n^2\left(1+2n+n^2\right)}{4}=\frac{n^2{\left(1+n\right)}^2}{4}={\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)}^2$