Aby udowodnić, że trójkąt jest równoboczny policzymy długości boków.

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-3-3\right)}^2+{\left(2-2\sqrt{3}-2\right)}^2}=\sqrt{{\left(-6\right)}^2+{\left(-2\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{36+12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(3-3\right)}^2+{\left(2\sqrt{3}+2-2+2\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{0^2+{\left(4\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{{\left(4\sqrt{3}\right)}^2}=4\sqrt{3}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(-3-3\right)}^2+{\left(2-2+2\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{{\left(-6\right)}^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{36+12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$  

Trójkąt jest równoboczny.

c.b.d.u.

---

Dalszą część zadania można zrobić na dwa sposoby. Albo wyznaczymy równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC i przekształcimy w symetrii względem początku układu współrzędnych albo najpierw przekształcimy trójkąt a później wyznaczymy równanie okręgu opisanego na nim.

My najpierw wyznaczymy równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC.

$\{\begin{array}{l}{\left(-3-a\right)}^2+{\left(2-b\right)}^2=r^2\\ {\left(3-a\right)}^2+{\left(2-2\sqrt{3}-b\right)}^2=r^2\\ {\left(3-a\right)}^2+{\left(2+2\sqrt{3}-b\right)}^2=r^2\end{array}$  

Zauważmy, że wygodnie będzie odjąć II i II równanie stronami, otrzymamy

${\left(2-2\sqrt{3}-b\right)}^2-{\left(2+2\sqrt{3}-b\right)}^2=0$  

$4+4\cdot 3+b^2-8\sqrt{3}+4\sqrt{3}b-4b-\left(4+4\cdot 3+b^2+8\sqrt{3}-4\sqrt{3}b-4b\right)=0$  

$16+b^2-8\sqrt{3}+4\sqrt{3}b-4b-\left(16+b^2+8\sqrt{3}-4\sqrt{3}b-4b\right)=0$  

$16+b^2-8\sqrt{3}+4\sqrt{3}b-4b-16-b^2-8\sqrt{3}+4\sqrt{3}b+4b=0$  

$-16\sqrt{3}+8\sqrt{3}b=0\mid +16\sqrt{3}$  

$8\sqrt{3}b=16\sqrt{3}\mid :8\sqrt{3}$  

$b=2$  

Podstawiamy to do dwóch równań z naszego układu

$\{\begin{array}{l}{\left(-3-a\right)}^2+{\left(2-2\right)}^2=r^2\\ {\left(3-a\right)}^2+{\left(2-2\sqrt{3}-2\right)}^2=r^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(-3-a\right)}^2=r^2\\ {\left(3-a\right)}^2+{\left(-2\sqrt{3}\right)}^2=r^2\end{array}$  

Możemy zapisać, że

${\left(-3-a\right)}^2={\left(3-a\right)}^2+{\left(-2\sqrt{3}\right)}^2$  

$\cancel{9}+6a+{\cancel{a}}^2=\cancel{9}-6a+{\cancel{a}}^2+4\cdot 3\mid +6a$  

$12a=12\mid :12$  

$a=1$

Pozostało obliczyć promień

$r^2={\left(-3-a\right)}^2={\left(-3-1\right)}^2={\left(-4\right)}^2=16$   

$r=4$  

Równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=16$  

Równanie okręgu symetrycznego

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=16$