3 szkoły ponadpodstawowej

III liceum

III technikum

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy

Odczytujemy współrzędne środka okręgu i długość promienia: S=(3,−1),  r=5<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​   Proste styczne przechodzące przez punkt A=(4,-4) mają równanie

Rozwiązanie 1

Oznaczmy S=(xS, yS) jako środek okręgu. Okrąg jest styczny do osi y w punkcie P=(0, 5), więc

Rysunek pomocniczy <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/140467/Sx22Vo4ufrZVTB6zqjRXZA%3D%3D_07d420c207bbf40990fcabdffc486c239be8c3911437c3bccbf14ae4f6f37d87.jpg" alt="" width="381" height="382"> a) Zauważmy, że przecięcie się prostych da nam wierzchołek B. {2x+y−7=0x−y+1=0    ∣+y​   {2x+y−7=0y=x+1​   {2x+x+1−7=0y=x+1​   {3x−6=0    ∣+6y=x+1​   {3x=6    ∣:3y=x+1​   {x=2y=2+1​   {x=2y=3​   B=(2, 3)   W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna stanowi

Styczna powinna mieć jeden punkt wspólny z okręgiem. A. Dla x = 2 (2−2)2+(y−3)2=25   (y−3)2=25   Równanie będzie miało dwa rozwiązania, wiec są dwa punkty wspólne.

Dana nierówność opisuje koło a równanie opisuje prostą. Narysujmy je w układzie współrzędnych.

Sprawdźmy ile maja punktów przecięcia proste z okręgiem. A. Mamy {y=2(x−1)2+y2=4​   {y=2(x−1)2+22=4​   {y=2(x−1)2+4=4       ∣−4​   {y=2(x−1)2=0​   {y=2x−1=0​   {y=2x=1​   Mamy tylko jedno rozwiązanie, jest jeden punkt wspólny.

Okrąg będzie miał wspólny środek zatem S=(2,−3)   Odległość środka od punktu A będzie promieniem okręgu.

Prosta prostopadła do prostej y=2 (y-2=0) ma równanie

5.17.