a)  Sprawdzamy który wyraz ciągu jest równy 0

$2\left(n+1\right)\left(n-3\right)=0$  

$n+1=0\left|-1\vee n-3=0\right|+3$  

$n=-1\notin \mathbb{N}\vee n=3\in \mathbb{N}$  

$a_3=0$

Zbadamy monotoniczność ciągu

$a_n=2\left(n+1\right)\left(n-3\right)$  

$a_{n+1}=2\left(n+1+1\right)\left(n+1-3\right)=2\left(n+2\right)\left(n-2\right)$  

$a_n<a_{n+1}$

Ciąg jest rosnący (kolejne wyrazy rosną).

Wyrazy a₁ i a₂ są mniejsze od 0, więc dwa wyrazy są mniejsze od m.

---

b) Sprawdzamy który wyraz ciągu jest równy -5

$-2n^2+3n=-5\mid +5$  

$-2n^2+3n+5=0$  

$\Delta =3^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot 5=9+40=49,\sqrt{\Delta }=7$  

$n=\frac{-3-7}{-4}=\frac{-10}{-4}=2\frac{1}{2}\notin \mathbb{N}\vee n=\frac{-3+7}{-4}=\frac{4}{-4}=-1\notin \mathbb{N}$  

Zbadamy monotoniczność ciągu

$a_n=-2n^2+3n$  

$a_{n+1}=-2{\left(n+1\right)}^2+3\left(n+1\right)=-2\left(n^2+2n+1\right)+3n+3=-2n^2-4n-2+3n+3=-2n^2-n+1$

$a_n>a_{n+1}$

Ciąg jest malejący (kolejne wyrazy maleją).

Od a₃ wartości ciągu są mniejsze od -5 , więc wyrazów mniejszych od m jest nieskończenie wiele.

---

c)  Sprawdzamy który wyraz ciągu jest równy 3

$\sqrt{n}=3{\mid }^2$  

$n=3^3$

$n=9$   

$a_9=3$

Zbadamy monotoniczność ciągu

$a_n=\sqrt{n}$  

$a_{n+1}=\sqrt{n+1}$  

$a_n<a_{n+1}$  

Ciąg jest rosnący (kolejne wyrazy rosną).

Wyrazy od a₁ do a₈ są mniejsze od 3, więc jest osiem takich wyrazów.

---

d) Sprawdzamy który wyraz ciągu jest równy 7

$\sqrt[3]{n+3}=7$  

${\left(n+3\right)}^{\frac{1}{3}}=7{\mid }^3$  

${\left({\left(n+3\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^3=7^3$  

${\left(n+3\right)}^{\frac{1}{3}\cdot 3}=343$  

${\left(n+3\right)}^1=343$  

$n+3=343\mid -3$  

$n=340$  

$a_{340}=7$

Zbadamy monotoniczność ciągu

$a_n=\sqrt[3]{n+3}$  

$a_{n+1}=\sqrt[3]{n+1+3}=\sqrt[3]{n+4}$  

$a_n<a_{n+1}$

Ciąg jest rosnący (kolejne wyrazy rosną).

Wyrazy od a₁ do a₃₃₉ są mniejsze od 7, więc jest trzysta trzydzieści dziewięć takich wyrazów.