a)

Z treści zadania wiemy, że przekątne kwadratu przecinają się w punkcie (2, 1), a jeden

z jego wierzchołków ma współrzędne (1, -2).

Należy obliczyć pole i obwód kwadratu.

 

Oznaczmy wierzchołek kwadratu, którego współrzędne zostały podane przez

$A\left(1,-2\right)$  

natomiast punkt przecięcia przekątnych

$S\left(2,1\right)$  

 

Do obliczenia pola i obwodu kwadratu potrzebujemy znać długość jego boku (oznaczenie: a). 

Zatem zauważmy, że skoro punkt S jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, to możemy

obliczyć długość przekątnej (oznaczenie: d).

$d=2\cdot \left|AS\right|=2\cdot \sqrt{{\left(2-1\right)}^2+{\left(1-\left(-2\right)\right)}^2}=$

$=2\cdot \sqrt{1^2+3^2}=2\cdot \sqrt{1+9}=2\sqrt{10}$  

zatem

$d=a\sqrt{2}$

$2\sqrt{10}=a\sqrt{2}\mid :\sqrt{2}$

$a=\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{\frac{10}{2}}=2\sqrt{5}$   

 

Obliczmy pole i obwód kwadratu o boku długości a

$P=a^2={\left(2\sqrt{5}\right)}^2=4\cdot 5=20$

$\text{Obw}=4\cdot a=4\cdot 2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$    

---

b)

Z treści zadania wiemy, że pole kwadratu jest równe 58, a jeden z jego wierzchołków

ma współrzędne A(-2, -3).

Punkt przecięcia przekątnych kwadratu należy do prostej y=x-4, więc możemy zapisać S(x, x-4).

 

Zatem, aby obliczyć współrzędne punktu przecięcia przekątnych kwadratu pozostaje do wyznaczenia wartość y.

Niech a będzie długością boku kwadratu, a d długością przekątnej kwadratu.

 

Skoro P=58, to

$58=a^2\mid \sqrt{},a>0$

$a=\sqrt{58}$   

zatem

$d=a\sqrt{2}=\sqrt{58}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}$  

 

Więc

$\left|AS\right|=\frac{1}{2}d$

$\sqrt{{\left(x-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(x-4-\left(-3\right)\right)}^2}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{29}$

$\sqrt{{\left(x+2\right)}^2+{\left(x-1\right)}^2}=\sqrt{29}\mid {\left(\right)}^2$

${\left(x+2\right)}^2+{\left(x-1\right)}^2=29$

$x^2+4x+4+x^2-2x+1=29\mid -29$

$2x^2+2x-24=0\mid :2$

$x^2+x-12=0$   

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-12\right)=1+48=49,\sqrt{\Delta }=7$

$x_1=\frac{-1-7}{2}=\frac{-8}{2}=-4\vee x_2=\frac{-1+7}{2}=\frac{6}{2}=3$  

 

Wnioskujemy, że 

$S\left(-4,-8\right)\vee S\left(3,-1\right)$