| Przypomnijmy twierdzenie. Dla dowolnych 𝛼, 𝛽 ∈ R prawdziwe są poniższe wzory. - sin α+sin β=2 sin 2α+β⋅cos 2α−β
- sin α−sin β=2 sin 2α−β⋅cos 2α+β
- cos α+cos β=2 cos 2α+β⋅cos 2α−β
- cos α−cos β=−2 sin 2α+β⋅sin 2α−β
|
a)
sin 3x−sin 2x=sin x
sin 3x−sin x=sin 2x
Korzystając z przypomnianego twierdzenia dostajemy
2 sin 23x−x⋅cos 23x+x=2 sin x cos x
2 sin x⋅cos 2x=2 sin x cos x
2 sin x⋅cos 2x−2 sin x cos x=0
2 sin x (cos 2x−cos x)=0
2 sin x (−2 sin 22x+x⋅sin 22x−x)=0
−4 sin x⋅sin 23x⋅sin 21x=0
sin x=0 ∨ sin 23x=0 ∨ sin 21x=0
x=kπ ∨ 23x=kπ ∨ 21x=kπ, k∈Z
Zatem
x=kπ ∨ x=32kπ, k∈Z
b)
cos 5x−sin 3x=cos x
cos 5x−cos x=sin 3x
Korzystając z przypomnianego twierdzenia dostajemy
−2 sin 25x+x⋅sin 25x−x=sin 3x
−2 sin 3x⋅sin 2x=sin 3x
−2 sin 3x⋅sin 2x−sin 3x=0
sin 3x (−2 sin 2x−1)=0
sin 3x=0 ∨ sin 2x=−21
3x=kπ ∨ 2x=−65π+2kπ ∨ 2x=−6π+2kπ, k∈Z
x=3kπ ∨ x=−125π+kπ ∨ x=−12π+kπ, k∈Z
c)
cos 6x+sin 5x+cos 2x=sin 3x
cos 6x+cos 2x+sin 5x−sin 3x=0
2 cos 26x+2x⋅cos 26x−2x+2 sin 25x−3x⋅cos 25x+3x=0
2 cos 4x⋅cos 2x+2 sin x cos 4x=0
2 cos 4x (cos 2x+sin x)=0
2 cos 4x=0 ∨ cos 2x+sin x=0
cos 4x=0 ∨ 1−2 sin2 x+sin x=0
4x=2π+kπ, k∈Z
x=8π+4kπ, k∈Z
Zastosujmy podstawienie do równania
1−2 sin2 x+sin x=0
Niech
t=sin x, t∈⟨−1;1⟩
−2t2+t+1=0
Δ=1+8=9, Δ=3
t1=−4−1−3=1 ∨ t2=−4−1+3=−21
Powracając do zmiennej x, otrzymujemy
sin x=1 ∨ sin x=−21
x=2π+2kπ ∨ x=−65π+2kπ ∨ x=−6π+2kπ, k∈Z
Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie
x=8π+4kπ ∨ x=2π+2kπ ∨ x=−65π+2kπ ∨ x=−6π+2kπ, k∈Z
d)
cos 7x−sin 7x=cos x−sin x
cos 7x−cos x=sin 7x−sin x
−2 sin 27x+x⋅sin 27x−x=2 sin 27x−x⋅cos 27x+x
−2 sin 4x⋅sin 3x=2 sin 3x⋅cos 4x
−2sin 4x sin 3x−2 sin 3x cos 4x=0
−2 sin 3x (sin 4x+cos 4x)=0
−2 sin 3x=0 ∨ sin 4x+cos 4x=0
sin 3x=0
3x=kπ, k∈Z
x=3kπ, k∈Z
Rozwiążmy równanie
sin 4x+cos 4x=0
sin 4x+sin (2π−4x)=0
2 sin 24x+2π−4x⋅cos 24x−2π+4x=0
2 sin 4π⋅cos 28x−2π=0
2⋅22⋅cos (4x−4π)=0
2⋅cos (4x−4π)=0
cos (4x−4π)=0
4x−4π=−2π+kπ, k∈Z
4x=−4π+kπ, k∈Z
x=−16π+4kπ, k∈Z
Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie
x=−16π+4kπ ∨ x=3kπ, k∈Z
