Rozwiąż równanie...- Zadanie 1: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$sin 4 x = 1$

Zastosujmy podstawienie t=4x.

$sin t = 1$

$t = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z$

Wracamy do niewiadomej x.

$4 x = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z$

$x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{2}, k \in Z$

$2 sin (x + \frac{π}{3}) = 1 ∣ : 2$

$sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

Zastosujmy podstawienie

$t = x + \frac{π}{3}$

$sin t = \frac{1}{2}$

$t = \frac{π}{6} + 2 k π \lor t = \frac{5 π}{6} + 2 k π, k \in Z$

Wracamy do niewiadomej x.

$x + \frac{π}{3} = \frac{π}{6} + 2 k π \lor x + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{6} + 2 k π, k \in Z$

$x = - \frac{π}{6} + 2 k π \lor x = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z$

$2 cos (2 x - \frac{π}{2}) = 1 ∣ : 2$

$cos (2 x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{2}$

Zastosujmy podstawienie

$t = 2 x - \frac{π}{2}$

$cos t = \frac{1}{2}$

$t = - \frac{π}{3} + 2 k π \lor t = \frac{π}{3} + 2 k π, k \in Z$

Wracamy do niewiadomej x.

$2 x - \frac{π}{2} = - \frac{π}{3} + 2 k π \lor 2 x - \frac{π}{2} = \frac{π}{3} + 2 k π, k \in Z$

$2 x = \frac{π}{6} + 2 k π \lor 2 x = \frac{5 π}{6} + 2 k π, k \in Z$

$x = \frac{π}{12} + k π \lor x = \frac{5 π}{12} + k π, k \in Z$

$2 sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) = 1 ∣ : 2$

$sin (\frac{1}{2} (x - \frac{π}{2})) = \frac{2}{2}$

Zastosujmy podstawienie

$t = \frac{1}{2} (x - \frac{π}{2})$

$sin t = \frac{2}{2}$

$t = \frac{π}{4} + 2 k π \lor t = \frac{3 π}{4} + 2 k π, k \in Z$

Wracamy do niewiadomej x.

$\frac{1}{2} (x - \frac{π}{2}) = \frac{π}{4} + 2 k π \lor \frac{1}{2} (x - \frac{π}{2}) = \frac{3 π}{4} + 2 k π, k \in Z$

$x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2} + 4 k π \lor x - \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2} + 4 k π, k \in Z$

$x = π + 4 k π \lor x = 2 π + 4 k π, k \in Z$

$2 cos (\frac{π}{4} - x) = - 2 ∣ : 2$

$cos (\frac{π}{4} - x) = - \frac{2}{2}$

$cos (- (x - \frac{π}{4})) = - \frac{2}{2}$

Wiemy, że $cos (- α) = cos α$ (funkcja parzysta), zatem:

$cos (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}$

Zastosujmy podstawienie

$t = x - \frac{π}{4}$

$cos t = - \frac{2}{2}$

$t = - \frac{3 π}{4} + 2 k π \lor t = \frac{3 π}{4} + 2 k π, k \in Z$

Wracamy do niewiadomej x.

$x - \frac{π}{4} = - \frac{3 π}{4} + 2 k π \lor x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 k π, k \in Z$

$x = - \frac{π}{2} + 2 k π \lor x = π + 2 k π, k \in Z$

$2 sin (3 x - \frac{π}{6}) = 3 ∣ : 2$

$sin (3 x - \frac{π}{6}) = \frac{3}{2}$

Zastosujmy podstawienie

$t = 3 x - \frac{π}{6}$

$sin t = \frac{3}{2}$

$t = \frac{π}{3} + 2 k π \lor t = \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z$

Wracamy do niewiadomej x.

$3 x - \frac{π}{6} = \frac{π}{3} + 2 k π \lor 3 x - \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z$

$3 x = \frac{π}{2} + 2 k π \lor 3 x = \frac{5 π}{6} + 2 k π, k \in Z$

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 k π}{3} \lor x = \frac{5 π}{18} + \frac{2 k π}{3}, k \in Z$

Katarzyna Majewska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Funkcja logarytmiczna

Premium

9:46

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Odczytywanie własności funkcji (1)

Premium

12:49

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Własności funkcji kwadratowej

15:15

Zobacz lekcję

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.