a)

$\left(1+\cos x\right)\left(1-\cos x\right)={\sin }^{2}x,x\in \mathbb{R}$  

 

Korzystając z tożsamości trygonometrycznych możemy udowodnić powyższą równość. 

Zatem, przekształćmy lewą stronę równania.

$\text{L}=\left(1+\cos x\right)\left(1-\cos x\right)=1-{\cos }^{2}x=1-\left(1-{\sin }^{2}x\right)=$

$=1-1+{\sin }^{2}x={\sin }^{2}x=\text{P}$  

 

Pokazaliśmy równość L=P, co kończy dowód. 

---

b)

$\cos x{\sin }^{2}x+{\cos }^{3}x=\cos x,x\in \mathbb{R}$  

 

Korzystając z tożsamości trygonometrycznych możemy udowodnić powyższą równość.

Zatem, przekształćmy lewą stronę równania.

$\text{L}=\cos x{\sin }^{2}x+{\cos }^{3}x=\cos x\stackrel{{\sin }^{2}x}{\overbrace{\left(1-{\cos }^{2}x\right)}}+{\cos }^{3}x=$

$=\cos x-{\cos }^{3}x+{\cos }^{3}x=\cos x=\text{P}$  

 

Pokazaliśmy równość L=P, co kończy dowód. 

---

c)

$1-2\sin x\cos x={\left(\sin x-\cos x\right)}^2,x\in \mathbb{R}$  

 

Korzystając z tożsamości trygonometrycznych możemy udowodnić powyższą równość.

Zatem, przekształćmy lewą stronę równania.

$\text{L}=1-2\sin x\cos x=\underset{=1}{\underbrace{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}}-2\sin x\cos x={\left(\sin x-\cos x\right)}^2=\text{P}$

 

Pokazaliśmy równość L=P, co kończy dowód. 

---

d)

$2{\sin }^{2}x-1=1-2{\cos }^{2}x,x\in \mathbb{R}$  

 

Korzystając z tożsamości trygonometrycznych możemy udowodnić powyższą równość.

Zatem, przekształćmy lewą stronę równania.

$\text{L}=2{\sin }^{2}x-1=2\left(1-{\cos }^{2}x\right)-1=2-2{\cos }^{2}x-1=1-2{\cos }^{2}x=\text{P}$

 

Pokazaliśmy równość L=P, co kończy dowód. 

---

e)

${\cos }^{2}x+{\text{tg}}^{2}x{\cos }^{2}x=1,x\in \mathbb{R}\text{}\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$  

 

Korzystając z tożsamości trygonometrycznych możemy udowodnić powyższą równość.

Zatem, przekształćmy lewą stronę równania.

$\text{L}={\cos }^{2}x+{\text{tg}}^{2}x{\cos }^{2}x={\cos }^{2}x+\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\cdot {\cos }^{2}x={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1=\text{P}$

 

Pokazaliśmy równość L=P, co kończy dowód. 

---

f)

$\cos x+{\text{tg}}^{2}x\cos x=\frac{1}{\cos x},x\in \mathbb{R}\text{}\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$  

 

Korzystając z tożsamości trygonometrycznych możemy udowodnić powyższą równość.

Zatem, przekształćmy lewą stronę równania.

$\text{L}=\cos x+{\text{tg}}^{2}x\cos x=\cos x+\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\cdot \cos x=\cos x+\frac{{\sin }^{2}x}{\cos x}=$

$=\frac{{\cos }^{2}x}{\cos x}+\frac{{\sin }^{2}x}{\cos x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{\cos x}=\frac{1}{\cos x}=\text{P}$   

 

Pokazaliśmy równość L=P, co kończy dowód.