Funkcja f: (a, b) → R jest ciągła w punkcie x0 ∈ (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$   oraz $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$

---

a)

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}2x-1\text{dla}x<1\\ \frac{1}{x}\text{dla}x\ge 1\end{array}$  

Wyznaczamy granicę funkcji f w punkcie x₀=1:

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=1$  

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(2x-1\right)=1$  

Zauważamy, że: 

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$

zatem

$\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=1$   

Obliczamy wartość funkcji dla argumentu x₀=1:

$f\left(1\right)=\frac{1}{1}=1$  

Zauważamy, że

$\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)$

zatem funkcja f jest ciągła.  

---

Szkicujemy wykres funkcji f:

---

---

b)

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\frac{2}{x-3}\text{dla}x\le 2\\ x-3\text{dla}x>2\end{array}$  

Wyznaczamy granicę funkcji f w punkcie x₀=2:

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-3\right)=-1$  

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2}{x-3}=-2$  

Zauważamy, że

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$

zatem funkcja f jest nieciągła.  

---

Szkicujemy wykres funkcji f: