Niech x, y będą długościami boków prostokąta.

Z treści zadania wiemy, że:

$P=50\left[{\text{cm}}^2\right]$  

zatem:

$P=xy$  

$50=xy\mid :x,x>0$  

$y=\frac{50}{x}$  

---

założenia:

$x>0\wedge y>0$  

$x>0\wedge \frac{50}{x}>0$

$x\in \left(0,\infty \right)$   

---

Należy wyznaczyć wymiary prostokąta spełniającego warunki zadania, którego obwód jest najmniejszy.

Obwód prostokąta jest dany wzorem:

$Obw=2x+2y=2x+2\cdot \frac{50}{x}=2x+\frac{100}{x}$   

---

Zapisujemy wzór funkcji opisującej obwód prostokąta w zależności od boku x:

$O\left(x\right)=2x+\frac{100}{x}$  

Obliczmy pochodną funkcji O:

$O^{{}^{\prime }}\left(x\right)={\left(2x+\frac{100}{x}\right)}^{{}^{\prime }}={\left(2x\right)}^{{}^{\prime }}+{\left(\frac{100}{x}\right)}^{{}^{\prime }}=2-\frac{100}{x^2}$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji O':

$O^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}2-\frac{100}{x^2}=0$  

Rozwiązujemy równanie:

$2-\frac{100}{x^2}=0$  

$\frac{2x^2}{x^2}-\frac{100}{x^2}=0$  

$\frac{2x^2-100}{x^2}=0$  

$2x^2-100=0$  

$2x^2=100$  

$x^2=50\mid \sqrt{},x>0$  

$x=\sqrt{50}$  

$x=5\sqrt{2}$  

---

Zauważmy, że

$O^{\prime }(x)<0\iff 2x^2-100<0$

$x^2<50$

$\left|x\right|<\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

$\begin{array}{ccc}x<5\sqrt{2}& \text{lub}& x>\end{array}-5\sqrt{2}$

Pamiętając o tym, że $x>0,$ dostajemy

$O^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0\text{gdy}x\in \left(0,5\sqrt{2}\right)$  

Następnie

$O^{\prime }(x)>0\iff 2x^2-100>0$

$x^2>50$

$\left|x\right|>\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

$\begin{array}{ccc}x>5\sqrt{2}& \text{lub}& x<\end{array}-5\sqrt{2}$

Pamiętając o tym, że $x>0,$ dostajemy

$O^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0\text{gdy}x\in \left(5\sqrt{2},\infty \right)$  

Funkcja O osiąga minimum w punkcie x=5√2.

Minimum jest dla funkcji O wartością najmniejszą.

---

Wobec tego najmniejszy obwód z prostokątów o polu 50 cm² ma prostokąt o wymiarach:

$x=5\sqrt{2}\left[\text{cm}\right],y=\frac{50}{x}=\frac{50}{5\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$    

---

Odp: Szukany prostokąt jest kwadratem o boku długości 5√2 cm.