Określ dziedzinę funkcji f, a następnie wyznacz jej pochodną...- Zadanie 3: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Pochodna ilorazu funkcji

Jeśli funkcje f i g mają pochodne w punkcie x oraz g(x)≠0, to:

$(\frac{f ( x )}{g ( x )})^{^{'}} = \frac{f ^{^{'}} ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ^{^{'}} ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}}$

Jeśli funkcja g ma pochodną w punkcie x oraz g(x)≠0, to:

$(\frac{1}{g ( x )})^{^{'}} = - \frac{g ^{^{'}} ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}}$

$f (x) = \frac{4 x + 1}{2 x + 1}$

$2 x + 1 \neq = 0 ∣ - 1$

$2 x \neq = - 1 ∣ : 2$

$x \neq = - \frac{1}{2}$

$D_{f} = R \ {- \frac{1}{2}}$

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{^{'}} (x) = \frac{( 4 x + 1 ) ^{^{'}} ( 2 x + 1 ) - ( 4 x + 1 ) ( 2 x + 1 ) ^{^{'}}}{( 2 x + 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{4 \cdot ( 2 x + 1 ) - ( 4 x + 1 ) \cdot 2}{( 2 x + 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{8 x + 4 - 8 x - 2}{( 2 x + 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{2}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$

$D_{f^{^{'}}} = D_{f} = R \ {- \frac{1}{2}}$

$f (x) = \frac{x ^{2}}{1 - 2 x}$

$1 - 2 x \neq = 0 ∣ + 2 x$

$2 x \neq = 1 ∣ : 2$

$x \neq = \frac{1}{2}$

$D_{f} = R \ {\frac{1}{2}}$

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{^{'}} (x) = \frac{( x ^{2} ) ^{^{'}} ( 1 - 2 x ) - x ^{2} \cdot ( 1 - 2 x ) ^{^{'}}}{( 1 - 2 x ) ^{2}} =$

$= \frac{2 x \cdot ( 1 - 2 x ) - x ^{2} \cdot ( - 2 )}{( 1 - 2 x ) ^{2}} =$

$= \frac{2 x - 4 x ^{2} + 2 x ^{2}}{( 1 - 2 x ) ^{2}} =$

$= \frac{- 2 x ^{2} + 2 x}{( 1 - 2 x ) ^{2}}$

$D_{f^{^{'}}} = D_{f} = R \ {\frac{1}{2}}$

$f (x) = \frac{5 x - 1}{x ^{2}}$

$x^{2} \neq = 0$

$x \neq = 0$

$D_{f} = R \ {0}$

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{^{'}} (x) = \frac{( 5 x - 1 ) ^{^{'}} \cdot x ^{2} - ( 5 x - 1 ) ( x ^{2} ) ^{^{'}}}{( x ^{2} ) ^{2}} =$

$= \frac{5 x ^{2} - ( 5 x - 1 ) \cdot ( 2 x )}{x ^{4}} =$

$= \frac{5 x ^{2} - 10 x ^{2} + 2 x}{x ^{4}} =$

$= \frac{- 5 x ^{2} + 2 x}{x ^{4}} =$

$= \frac{x ( - 5 x + 2 )}{x ^{4}} =$

$= \frac{- 5 x + 2}{x ^{3}}$

$D_{f^{^{'}}} = D_{f} = R \ {0}$

$f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{3 x - 1}$

$3 x - 1 \neq = 0 ∣ + 1$

$3 x \neq = 1 ∣ : 3$

$x \neq = \frac{1}{3}$

$D_{f} = R \ {\frac{1}{3}}$

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{^{'}} (x) = \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{^{'}} ( 3 x - 1 ) - ( x ^{2} + 1 ) ( 3 x - 1 ) ^{^{'}}}{( 3 x - 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{2 x \cdot ( 3 x - 1 ) - ( x ^{2} + 1 ) \cdot 3}{( 3 x - 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{6 x ^{2} - 2 x - 3 x ^{2} - 3}{( 3 x - 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{3 x ^{2} - 2 x - 3}{( 3 x - 1 ) ^{2}}$

$D_{f^{^{'}}} = D_{f} = R \ {\frac{1}{3}}$

$f (x) = \frac{6 x + 2}{1 - x ^{2}}$

$1 - x^{2} \neq = 0 ∣ + x^{2}$

$x^{2} \neq = 1 ∣$

$x \neq = 1 \land x \neq = - 1$

$D_{f} = R \ {- 1, 1}$

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{^{'}} (x) = \frac{( 6 x + 2 ) ^{^{'}} ( 1 - x ^{2} ) - ( 6 x + 2 ) ( 1 - x ^{2} ) ^{^{'}}}{( 1 - x ^{2} ) ^{2}} =$

$= \frac{6 \cdot ( 1 - x ^{2} ) - ( 6 x + 2 ) \cdot ( - 2 x )}{( 1 - x ^{2} ) ^{2}} =$

$= \frac{6 - 6 x ^{2} + 12 x ^{2} + 4 x}{( 1 - x ^{2} ) ^{2}} =$

$= \frac{6 x ^{2} + 4 x + 6}{( 1 - x ^{2} ) ^{2}}$

$D_{f^{^{'}}} = D_{f} = R \ {- 1, 1}$

$f (x) = \frac{2 x ^{2} - x + 1}{3 x - x ^{2}}$

$3 x - x^{2} \neq = 0$

$x (3 - x) \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x \neq = 3$

$D_{f} = R \ {0, 3}$

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{^{'}} (x) = \frac{( 2 x ^{2} - x + 1 ) ^{^{'}} ( 3 x - x ^{2} ) - ( 2 x ^{2} - x + 1 ) ( 3 x - x ^{2} ) ^{^{'}}}{( 3 x - x ^{2} ) ^{2}} =$

$= \frac{( 4 x - 1 ) ( 3 x - x ^{2} ) - ( 2 x ^{2} - x + 1 ) ( 3 - 2 x )}{( 3 x - x ^{2} ) ^{2}} =$

$= \frac{12 x ^{2} - 4 x ^{3} - 3 x + x ^{2} - 6 x ^{2} + 4 x ^{3} + 3 x - 2 x ^{2} - 3 + 2 x}{( 3 x - x ^{2} ) ^{2}} =$

$= \frac{5 x ^{2} + 2 x - 3}{( 3 x - x ^{2} ) ^{2}}$

$D_{f^{^{'}}} = D_{f} = R \ {0, 3}$

$f (x) = \frac{x ^{3} - x ^{2}}{x ^{2} - 1}$

$x^{2} - 1 \neq = 0 ∣ + 1$

$x^{2} \neq = 1 ∣$

$x \neq = 1 \land x \neq = - 1$

$D_{f} = R \ {- 1, 1}$

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{^{'}} (x) = \frac{( x ^{3} - x ^{2} ) ^{^{'}} ( x ^{2} - 1 ) - ( x ^{3} - x ^{2} ) ( x ^{2} - 1 ) ^{^{'}}}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{( 3 x ^{2} - 2 x ) ( x ^{2} - 1 ) - ( x ^{3} - x ^{2} ) \cdot 2 x}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{3 x ^{4} - 3 x ^{2} - 2 x ^{3} + 2 x - 2 x ^{4} + 2 x ^{3}}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{x ^{4} - 3 x ^{2} + 2 x}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}}$

Zauważamy, że

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x = x (x^{3} - 3 x + 2) =$

$= x (x^{3} - x - 2 x + 2) = x (x (x^{2} - 1) - 2 (x - 1)) =$

$= x (x (x - 1) (x + 1) - 2 (x - 1)) = x (x - 1) (x (x + 1) - 2) =$

$= x (x - 1) (x^{2} + x - 2) = x (x - 1) (x^{2} - x + 2 x - 2) =$

$= x (x - 1) (x (x - 1) + 2 (x - 1)) = x (x - 1) (x - 1) (x + 2) =$

$= (x - 1)^{2} (x^{2} + 2 x)$

Wobec tego:

$f^{^{'}} (x) = \frac{x ^{4} - 3 x ^{2} + 2 x}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{( x - 1 ) ^{2} ( x ^{2} + 2 x )}{( x - 1 ) ^{2} ( x + 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{x ^{2} + 2 x}{( x + 1 ) ^{2}}$

$D_{f^{^{'}}} = D_{f} = R \ {- 1, 1}$

$f (x) = \frac{x ^{3} + x ^{2} - x - 1}{x + 1}$

$x + 1 \neq = 0 ∣ - 1$

$x \neq = - 1$

$D_{f} = R \ {- 1}$

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{'} (x) = \frac{( x ^{3} + x ^{2} - x - 1 ) ^{^{'}} ( x + 1 ) - ( x ^{3} + x ^{2} - x - 1 ) ( x + 1 ) ^{^{'}}}{( x + 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{( 3 x ^{2} + 2 x - 1 ) ( x + 1 ) - ( x ^{3} + x ^{2} - x - 1 ) \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{3 x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x ^{2} + 2 x - x - 1 - x ^{3} - x ^{2} + x + 1}{( x + 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{2 x ^{3} + 4 x ^{2} + 2 x}{( x + 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{2 x ( x ^{2} + 2 x + 1 )}{( x + 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{2 x ( x + 1 ) ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}} = 2 x$

$D_{f^{^{'}}} = D_{f} = R \ {- 1}$

$f (x) = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{1 - x}$

$1 - x \neq = 0 ∣ + x$

$x \neq = 1$

$D_{f} = R \ {1}$

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{'} (x) = \frac{( ( x - 2 ) ^{2} ) ^{^{'}} ( 1 - x ) - ( x - 2 ) ^{2} ( 1 - x ) ^{^{'}}}{( 1 - x ) ^{2}} =$

$= \frac{( ( x - 2 ) ( x - 2 ) ) ^{^{'}} ( 1 - x ) - ( x ^{2} - 4 x + 4 ) \cdot ( - 1 )}{( 1 - x ) ^{2}} =$

$= \frac{( ( x - 2 ) ^{^{'}} ( x - 2 ) + ( x - 2 ) ( x - 2 ) ^{^{'}} ) ( 1 - x ) + x ^{2} - 4 x + 4}{( 1 - x ) ^{2}} =$

$= \frac{( 1 \cdot ( x - 2 ) + ( x - 2 ) \cdot 1 ) ( 1 - x ) + x ^{2} - 4 x + 4}{( 1 - x ) ^{2}} =$

$= \frac{( x - 2 + x - 2 ) ( 1 - x ) + x ^{2} - 4 x + 4}{( 1 - x ) ^{2}} =$

$= \frac{( 2 x - 4 ) ( 1 - x ) + x ^{2} - 4 x + 4}{( 1 - x ) ^{2}} =$

$= \frac{2 x - 2 x ^{2} - 4 + 4 x + x ^{2} - 4 x + 4}{( 1 - x ) ^{2}} =$

$= \frac{- x ^{2} + 2 x}{( 1 - x ) ^{2}}$

$D_{f^{^{'}}} = D_{f} = R \ {1}$

$f (x) = \frac{1}{5 x - 1} + \frac{1}{x}$

$5 x - 1 \neq = 0 \land x \neq = 0$

$5 x \neq = 1$

$x \neq = \frac{1}{5}$

$D_{f} = R \ {0, \frac{1}{5}}$

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{'} (x) = - \frac{( 5 x - 1 ) ^{^{'}}}{( 5 x - 1 ) ^{2}} - \frac{( x ) ^{^{'}}}{x ^{2}} =$

$= - \frac{5}{( 5 x - 1 ) ^{2}} - \frac{1}{x ^{2}}$

$D_{f^{^{'}}} = D_{f} = R \ {0, \frac{1}{5}}$

$f (x) = \frac{1}{1 - x ^{4}} - \frac{2}{x ^{3}}$

$1 - x^{4} \neq = 0 \land x^{3} \neq = 0$

$x^{4} \neq = 1 \land x \neq = 0$

$x \neq = 1 \land x \neq = - 1 \land x \neq = 0$

$D_{f} = R \ {- 1, 0, 1}$

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{'} (x) = - \frac{( 1 - x ^{4} ) ^{^{'}}}{( 1 - x ^{4} ) ^{2}} + \frac{2 \cdot ( x ^{3} ) ^{^{'}}}{x ^{6}} =$

$= \frac{4 x ^{3}}{( 1 - x ^{4} ) ^{2}} + \frac{6 x ^{2}}{x ^{6}} =$

$= \frac{4 x ^{3}}{( 1 - x ^{4} ) ^{2}} + \frac{6}{x ^{4}}$

$D_{f^{^{'}}} = D_{f} = R \ {- 1, 0, 1}$

$f (x) = \frac{3}{x ^{3} - 2} - \frac{1}{4 x ^{4}}$

$x^{3} - 2 \neq = 0 \land 4 x^{4} \neq = 0$

$x^{3} \neq = 2 \land x \neq = 0$

$x \neq = 32$

$D_{f} = R \ {0, 32}$

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{'} (x) = - \frac{3 \cdot ( x ^{3} - 2 ) ^{^{'}}}{( x ^{3} - 2 ) ^{2}} + \frac{( 4 x ^{4} ) ^{^{'}}}{16 x ^{8}} =$

$= - \frac{3 \cdot 3 x ^{2}}{( x ^{3} - 2 ) ^{2}} + \frac{16 x ^{3}}{16 x ^{8}} =$

$= - \frac{9 x ^{2}}{( x ^{3} - 2 ) ^{2}} + \frac{1}{x ^{5}}$

$D_{f^{^{'}}} = D_{f} = R \ {0, 32}$

Katarzyna Majewska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Definicja funkcji i podstawowe pojęcia

Premium

15:17

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Funkcja wykładnicza

11:32

Zobacz lekcję

Odczytywanie własności funkcji (1)

Premium

12:49

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.