Jeśli funkcja f: ⟨a, b〉 → R jest ciągła oraz: $f\left(a\right)<0,f\left(b\right)>0\text{lub}f\left(a\right)>0,f\left(b\right)<0$ to istnieje przynajmniej jeden argument c ∈ (a, b) taki, że f(c)=0.

---

a)

$w\left(x\right)=-3x^4+6x^2+5,\left(0,2\right)$

Wielomian w jest funkcją ciągłą w przedziale ⟨0, 2〉 oraz zauważamy, że: 

$w\left(0\right)=-3\cdot 0^4+6\cdot 0^2+5=5>0$

$w\left(2\right)=-3\cdot 2^4+6\cdot 2^2+5=-3\cdot 16+6\cdot 4+5=$

$=-48+24+5=-19<0$  

Zatem na podstawie twierdzenia o przyjmowaniu wartości pośrednich

wnioskujemy, że wielomian w ma pierwiastek w przedziale (0, 2).

---

b)

$w\left(x\right)=x^5-6x^3+x^2-7,\left(-2,-1\right)$

Wielomian w jest funkcją ciągłą w przedziale ⟨-2, -1〉 oraz zauważamy, że:

$w\left(-2\right)={\left(-2\right)}^5-6\cdot {\left(-2\right)}^3+{\left(-2\right)}^2-7=$

$=-32+48+4-7=13>0$  

$w\left(-1\right)={\left(-1\right)}^5-6\cdot {\left(-1\right)}^3+{\left(-1\right)}^2-7=$

$=-1+6+1-7=-1<0$  

Zatem na podstawie twierdzenia o przyjmowaniu wartości pośrednich

wnioskujemy, że wielomian w ma pierwiastek w przedziale (-2, -1).