Jeżeli funkcja $f\left(x\right)=\frac{w\left(x\right)}{v\left(x\right)}$   jest funkcją wymierną, gdzie w i v są wielomianami oraz $v\left(x_0\right)\ne 0$ to: $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{w\left(x\right)}{v\left(x\right)}=\frac{w\left(x_0\right)}{v\left(x_0\right)}$

---

a)

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-3}{x-3}$

założenie:

$x-3\ne 0$   

$x\ne 3$

wobec tego:

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-3}{x-3}=\frac{2^3-3}{2-3}=\frac{8-3}{-1}=-5$   

---

b) 

$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x^3-x}{2x^2-10}$

założenie:

$2x^2-10\ne 0$   

$x^2\ne 5$

$x\ne \sqrt{5}\wedge x\ne -\sqrt{5}$  

wobec tego:

$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x^3-x}{2x^2-10}=\frac{{\left(-3\right)}^3-\left(-3\right)}{2\cdot {\left(-3\right)}^2-10}=$

$=\frac{-27+3}{2\cdot 9-10}=\frac{-24}{18-10}=\frac{-24}{8}=-3$    

---

c)

$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{4x^4-4x^2+1}{2x^2-1}$

założenie:

$2x^2-1\ne 0$   

$x^2\ne \frac{1}{2}$

$x\ne \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\wedge x\ne -\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$  

wobec tego:

$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{4x^4-4x^2+1}{2x^2-1}=\frac{4\cdot {\left(-2\right)}^4-4\cdot {\left(-2\right)}^2+1}{2\cdot {\left(-2\right)}^2-1}=$

$=\frac{4\cdot 16-4\cdot 4+1}{2\cdot 4-1}=\frac{64-16+1}{8-1}=\frac{48+1}{7}=\frac{49}{7}=7$    

---

d)

$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{2x^3+4x-13}{x+7}$

założenie:

$x+7\ne 0$   

$x\ne -7$

wobec tego:

$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{2x^3+4x-13}{x+7}=\frac{2\cdot 4^3+4\cdot 4-13}{4+7}=$

$=\frac{2\cdot 64+16-13}{11}=\frac{128+3}{11}=\frac{131}{11}$