a)

Z treści zadania wiemy, że:

$b_n=2^{-n},n\in {\mathbb{N}}_{+}$

Wyznaczamy wartość (n+1) wyrazu ciągu.  

$b_{n+1}=2^{-\left(n+1\right)}=2^{-n-1}$

Sprawdzamy, czy ciąg (b_n) jest ciągiem geometrycznym. 

$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2^{-n-1}}{2^{-n}}=$

$=2^{-n-1-\left(-n\right)}=2^{-1}=\frac{1}{2},n\in {\mathbb{N}}_{+}$    

Wnioskujemy, że ciąg (b_n) jest ciągiem geometrycznym, ponieważ iloraz

jest liczbą stałą dla każdego n ∈ N₊.

---

Określamy monotoniczność ciągu:

Zauważamy, że iloraz ciągu:

$q=\frac{1}{2}\in \left(0,1\right)$

wobec tego ciąg (b_n) jest ciągiem malejącym. 

---

---

b)

Z treści zadania wiemy, że:

$b_n=3\cdot 5^n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$

Wyznaczamy wartość (n+1) wyrazu ciągu.  

$b_{n+1}=3\cdot 5^{n+1}$

Sprawdzamy, czy ciąg (b_n) jest ciągiem geometrycznym.

$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3\cdot 5^{n+1}}{3\cdot 5^n}=$

$=5^{n+1-n}=5^1=5,n\in {\mathbb{N}}_{+}$    

Wnioskujemy, że ciąg (b_n) jest ciągiem geometrycznym, ponieważ iloraz

jest liczbą stałą dla każdego n ∈ N₊.

---

Określamy monotoniczność ciągu:

Zauważamy, że iloraz ciągu:

$q=5>1$

wobec tego ciąg (b_n) jest ciągiem rosnącym. 

---

---

c)

Z treści zadania wiemy, że:

$b_n=2^{3n-1},n\in {\mathbb{N}}_{+}$

Wyznaczamy wartość (n+1) wyrazu ciągu.  

$b_{n+1}=2^{3\left(n+1\right)-1}=2^{3n+2}$

Sprawdzamy, czy ciąg (b_n) jest ciągiem geometrycznym.

$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2^{3n+2}}{2^{3n-1}}=$

$=2^{3n+2-3n+1}=2^3=8,n\in {\mathbb{N}}_{+}$    

Wnioskujemy, że ciąg (b_n) jest ciągiem geometrycznym, ponieważ iloraz

jest liczbą stałą dla każdego n ∈ N₊.

---

Określamy monotoniczność ciągu:

Zauważamy, że iloraz ciągu:

$q=8>1$

wobec tego ciąg (b_n) jest ciągiem rosnącym.