Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) jest równa średniej arytmetycznej wyrazów pierwszego i ostatniego pomnożonej przez liczbę wyrazów tego ciągu: $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

---

a)

Z treści zadania wiemy, że liczby

$1,4,7,10,\dots$

tworzą ciąg arytmetyczny.

Zauważamy, że

$a_1=1,a_2=4,\dots$  

Wobec tego różnica ciągu: 

$r=a_2-a_1=4-1=3$  

Wyznaczamy wartość szóstego wyrazu ciągu korzystając ze wzoru

ogólnego ciągu arytmetycznego:

$a_6=a_1+\left(6-1\right)r=1+5\cdot 3=1+15=16$

Wyznaczamy sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu

$S_6=\frac{a_1+a_6}{2}\cdot 6=\frac{1+16}{2}\cdot 6=17\cdot 3=51$    

---

b)

Z treści zadania wiemy, że liczby

$\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\dots$

tworzą ciąg arytmetyczny.

Zauważamy, że

$a_1=\frac{1}{2},a_2=1,\dots$  

Wobec tego różnica ciągu:

$r=a_2-a_1=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$  

Wyznaczamy wartość dwudziestego wyrazu ciągu korzystając ze wzoru

ogólnego ciągu arytmetycznego:

$a_{20}=a_1+\left(20-1\right)r=\frac{1}{2}+19\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{19}{2}=\frac{20}{2}=10$

Wyznaczamy sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu

$S_{20}=\frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot 20=\frac{\frac{1}{2}+10}{2}\cdot 20=10\frac{1}{2}\cdot 10=\frac{21}{2}\cdot 10=21\cdot 5=105$