Odległość punktu od prostej

Odległość punktu $S=\left(x_0,y_0\right)$ od prostej $l:Ax+By+C=0$ można obliczyć ze wzoru $d\left(S,l\right)=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

---

a)

$K:{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=1,l:y=x-2$  

 

Zauważamy, że środek okręgu, to punkt S(2, 1), natomiast r=1.

Zapisujemy równanie prostej w postaci ogólnej

$l:x-y-2=0$  

---

Wyznaczmy odległość punktu S od prostej l.  

$d=\frac{\left|1\cdot 2+\left(-1\right)\cdot 1-2\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|2-1-2\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\left|-1\right|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

---

Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa może obliczyć |AB|

$d^2+{\left(\frac{1}{2}\left|AB\right|\right)}^2=r^2$

${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}{\left|AB\right|}^2=1^2$

$\frac{2}{4}+\frac{1}{4}{\left|AB\right|}^2=1\mid -\frac{2}{4}$

$\frac{1}{4}{\left|AB\right|}^2=1-\frac{2}{4}$

$\frac{1}{4}{\left|AB\right|}^2=\frac{1}{2}\mid \cdot 4$

${\left|AB\right|}^2=2\left|\sqrt{},\right|AB\mid >0$  

$\left|AB\right|=\sqrt{2}$    

---

b)

$K:{\left(x-4\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=10,l:y=-2x+2$  

 

Zauważamy, że środek okręgu, to punkt S(4, -1), natomiast r=√10.

Zapisujemy równanie prostej w postaci ogólnej

$l:2x+y-2=0$  

---

Wyznaczmy odległość punktu S od prostej l. 

$d=\frac{\left|2\cdot 4+1\cdot \left(-1\right)-2\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\left|8-1-2\right|}{\sqrt{5}}=\frac{\left|5\right|}{\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$  

---

Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa może obliczyć |AB|

$d^2+{\left(\frac{1}{2}\left|AB\right|\right)}^2=r^2$

${\left(\sqrt{5}\right)}^2+\frac{1}{4}{\left|AB\right|}^2={\left(\sqrt{10}\right)}^2$

$5+\frac{1}{4}{\left|AB\right|}^2=10\mid -5$

$\frac{1}{4}{\left|AB\right|}^2=5\mid \cdot 4$

${\left|AB\right|}^2=20\left|\sqrt{},\right|AB\mid >0$  

$\left|AB\right|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$