a)

Aby wyznaczyć punkty wspólne prostej i okręgu, należy rozwiązać układ równań

$\{\begin{array}{l}y=-x-2\\ {\left(x-3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=8\end{array}$

Do drugiego równania podstawiamy y=-x-2 i dostajemy 

${\left(x-3\right)}^2+{\left(-x-2+1\right)}^2=8$

$x^2-6x+9+{\left(-x-1\right)}^2=8$

$x^2-6x+9+x^2+2x+1=8$

$2x^2-4x+10=8\mid -8$

$2x^2-4x+2=0\mid :2$

$x^2-2x+1=0$

${\left(x-1\right)}^2=0$  

$x-1=0$

$x=1$   

Wracamy do podstawienia i wyznaczamy wartość y

$y=-x-2=-1-2=-3$          

 

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-3\end{array}$

Zatem okrąg i prosta mają jeden punkt wspólny: (1, -3).

---

Szkicujemy okrąg i prostą w układzie współrzędnych

---

b)

Aby wyznaczyć punkty wspólne prostej i okręgu, należy rozwiązać układ równań

$\{\begin{array}{l}y=3x-2\\ {\left(x+2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=10\end{array}$

Do drugiego równania podstawiamy y=3x-2 i dostajemy 

${\left(x+2\right)}^2+{\left(3x-2+2\right)}^2=10$

$x^2+4x+4+{\left(3x\right)}^2=10$

$x^2+4x+4+9x^2=10$

$10x^2+4x+4=10\mid -10$

$10x^2+4x-6=0\mid :2$

$5x^2+2x-3=0$

$\Delta =2^2-4\cdot 5\cdot \left(-3\right)=4+60=64,\sqrt{\Delta }=8$  

$x=\frac{-2-8}{10}=-\frac{10}{10}=-1\vee x=\frac{-2+8}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$  

Wracamy do podstawienia i wyznaczamy wartość y

$y=3x-2=3\cdot \left(-1\right)-2=-3-2=-5\vee y=3\cdot \frac{3}{5}-2=\frac{9}{5}-\frac{10}{5}=-\frac{1}{5}$          

 

Rozwiązaniem układu równań są dwie pary liczb

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-5\end{array}\text{oraz}\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{5}\\ y=-\frac{1}{5}\end{array}$

Zatem okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne: (-1, -5) oraz (³/₅, -¹/₅).

---

Szkicujemy okrąg i prostą w układzie współrzędnych