Przypomnijmy, ze odległość miedzy dwiema prostymi równoległymi jest równa odległości dowolnego punktu jednej z tych prostych od drugiej prostej.

---

a)

Obliczmy odległość między prostą y=x-1, a prostą y=x+3.

Zauważmy, że do prostej y=x-1 należy punkt A(1, 0). 

Zatem odległość między prostymi możemy obliczyć jako odległość pomiędzy punktem A a prostą y=x+3.

 

Zapiszmy równanie prostej y=x+3 w postaci ogólnej.

$y=x+3\mid -x-3$

$-x+y-3=0$   

 

Odległość między prostymi

$d=\frac{\left|\left(-1\right)\cdot 1+1\cdot 0+\left(-3\right)\right|}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2}}=\frac{\left|-1-3\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{\left|-4\right|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$  

---

b)

Obliczmy odległość między prostą y=2x-1, a prostą y=2x+2.

Zauważmy, że do prostej y=2x-1 należy punkt A(1, 1). 

Zatem odległość między prostymi możemy obliczyć jako odległość pomiędzy punktem A a prostą y=2x+2.

 

Zapiszmy równanie prostej y=2x+2 w postaci ogólnej.

$y=2x+2\mid -2x-2$

$-2x+y-2=0$   

 

Odległość między prostymi

$d=\frac{\left|\left(-2\right)\cdot 1+1\cdot 1+\left(-2\right)\right|}{\sqrt{{\left(-2\right)}^2+1^2}}=\frac{\left|-2-1\right|}{\sqrt{4+1}}=\frac{\left|-3\right|}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$  

---

c)

Obliczmy odległość między prostą x-2y-4=0, a prostą y=¹/₂x+6.

Zauważmy, że do prostej y=¹/₂x+6 należy punkt A(2, 7). 

Zatem odległość między prostymi możemy obliczyć jako odległość pomiędzy punktem A a prostą x-2y-4=0.

 

Odległość między prostymi

$d=\frac{\left|1\cdot 2+\left(-2\right)\cdot 7+\left(-4\right)\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{\left|2-14-4\right|}{\sqrt{1+4}}=\frac{\left|-16\right|}{\sqrt{5}}=\frac{16}{\sqrt{5}}=\frac{16\sqrt{5}}{5}$  

---

d)

Obliczmy odległość między prostą 3x-2y-4=0, a prostą y=³/₂x+1.

Zauważmy, że do prostej y=³/₂x+1 należy punkt A(2, 4). 

Zatem odległość między prostymi możemy obliczyć jako odległość pomiędzy punktem A a prostą 3x-2y-4=0.

 

Odległość między prostymi

$d=\frac{\left|3\cdot 2+\left(-2\right)\cdot 4+\left(-4\right)\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{\left|6-8-4\right|}{\sqrt{9+4}}=\frac{\left|-6\right|}{\sqrt{13}}=\frac{6}{\sqrt{13}}=\frac{6\sqrt{13}}{13}$