Twierdzenie o logarytmie ilorazu Jeżeli a, x i y są liczbami dodatnimi oraz a≠1, to: ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$

---

Dowód powyższego twierdzenia. 

Niech a, x i y będą liczbami dodatnimi oraz a≠1.

Przyjmijmy również, że p=log_ax oraz q=log_ay, wtedy a^p=x i a^q=y. 

$\frac{x}{y}=\frac{a^p}{a^q}$

$\frac{x}{y}=a^{p-q}$

Z definicji logarytmu dostajemy, że

${\log }_a\frac{x}{y}=p-q$

Korzystając z podstawień zapisanych na początku dowodu mamy

${\log }_a\frac{x}{y}=\underset{=p}{\underbrace{{\log }_{a}x}}-\underset{=q}{\underbrace{{\log }_{a}y}}$  

co należało udowodnić.