Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an) o ilorazie q≠1 wyraża się wzorem: $S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$   Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an) o ilorazie q=1 wyraża się wzorem:  $S_n=n\cdot a_1$

---

a)

Z treści zadania wiemy, że liczby

$1,3,9,27,\dots$

tworzą ciąg geometryczny.

Należy obliczyć sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu, a więc:

$S_6=a_1\cdot \frac{1-q^6}{1-q}$   

Odczytujemy, że 

$a_1=1$

natomiast

$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{3}{1}=3$

Wobec tego:

$S_6=1\cdot \frac{1-3^6}{1-3}=\frac{1-729}{-2}=\frac{-728}{-2}=364$    

---

Sprawdzenie:

$S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=$

$=1+3+9+27+27\cdot 3+27\cdot 3^2=$  

$=40+81+243=364$   

---

---

b)

Z treści zadania wiemy, że liczby

$1,-2,4,-8,\dots$

tworzą ciąg geometryczny.

Należy obliczyć sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu, a więc:

$S_6=a_1\cdot \frac{1-q^6}{1-q}$   

Odczytujemy, że

$a_1=1$

natomiast

$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-2}{1}=-2$

Wobec tego:

$S_6=1\cdot \frac{1-{\left(-2\right)}^6}{1-\left(-2\right)}=\frac{1-64}{1+2}=\frac{-63}{3}=-21$   

---

Sprawdzenie:

$S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=$

$=1+\left(-2\right)+4+\left(-8\right)+\left(-8\right)\cdot \left(-2\right)+\left(-8\right)\cdot {\left(-2\right)}^2=$  

$=1-2+4-8+16-8\cdot 4=11-32=-21$   

---

---

c)

Z treści zadania wiemy, że liczby

$1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots$

tworzą ciąg geometryczny.

Należy obliczyć sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu, a więc:

$S_6=a_1\cdot \frac{1-q^6}{1-q}$   

Odczytujemy, że

$a_1=1$

natomiast

$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$

Wobec tego:

$S_6=1\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^6}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1-\frac{1}{64}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}}=\frac{63}{64}\cdot 2=\frac{63}{32}$   

---

Sprawdzenie:

$S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=$

$=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{8}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=$  

$=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{4}=$   

$=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=$  

$=\frac{32}{32}+\frac{16}{32}+\frac{8}{32}+\frac{4}{32}+\frac{2}{32}+\frac{1}{32}=\frac{63}{32}$