Aby wykazać, że ciąg (an) jest geometryczny, należy sprawdzić, czy iloraz $\frac{a_{n+1}}{a_n}$    jest stały dla każdego n ∈ N+.  Ciąg geometryczny (an) o pierwszym wyrazie a1 < 0 i ilorazie q jest: rosnący, gdy 0 < q < 1 malejący, gdy q > 1 stały, gdy q = 1 Ciąg geometryczny (an) o pierwszym wyrazie a1 > 0 i ilorazie q jest: rosnący, gdy q > 1 malejący, gdy 0 < q < 1 stały, gdy q = 1

---

a)

Z treści zadania wiemy, że

$a_n=\frac{5}{2^n},n\in {\mathbb{N}}_{+}$

---

Sprawdzamy wartość ilorazu 

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{5}{2^{n+1}}}{\frac{5}{2^n}}=$

$=\frac{5}{2^{n+1}}\cdot \frac{2^n}{5}=\frac{2^n}{2^{n+1}}=$   

$=2^{-1}=\frac{1}{2},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Powyższy iloraz przyjmuje stałą wartość dla każdego n ∈ N₊, zatem ciąg (a_n) jest geometryczny,

co należało wykazać.

---

Zauważamy, że

$a_1=\frac{5}{2}>0\text{oraz}q=\frac{1}{2}\in \left(0;1\right)$

zatem ciąg jest malejący.  

---

---

b)

Z treści zadania wiemy, że

$a_n={\left(-\frac{1}{7}\right)}^n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$

---

Sprawdzamy wartość ilorazu

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{{\left(-\frac{1}{7}\right)}^{n+1}}{{\left(-\frac{1}{7}\right)}^n}={\left(-\frac{1}{7}\right)}^1=-\frac{1}{7},n\in {\mathbb{N}}_{+}$

Powyższy iloraz przyjmuje stałą wartość dla każdego n ∈ N₊, zatem ciąg (a_n) jest geometryczny,

co należało wykazać.

---

Zauważamy, że

$a_1=-\frac{1}{7}<0\text{oraz}q=-\frac{1}{7}<0$

zatem ciąg nie jest monotoniczny.  

---

---

c)

Z treści zadania wiemy, że

$a_n=-\frac{1}{3}\cdot 2^n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$

---

Sprawdzamy wartość ilorazu

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{-\frac{1}{3}\cdot 2^{n+1}}{-\frac{1}{3}\cdot 2^n}=2^1=2,n\in {\mathbb{N}}_{+}$

Powyższy iloraz przyjmuje stałą wartość dla każdego n ∈ N₊, zatem ciąg (a_n) jest geometryczny,

co należało wykazać.

---

Zauważamy, że

$a_1=-\frac{2}{3}<0\text{oraz}q=2>1$

zatem ciąg jest malejący.  

---

---

d)

Z treści zadania wiemy, że

$a_n=-2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$

---

Sprawdzamy wartość ilorazu

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{-2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}}{-2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n}={\left(\frac{1}{3}\right)}^1=\frac{1}{3},n\in {\mathbb{N}}_{+}$

Powyższy iloraz przyjmuje stałą wartość dla każdego n ∈ N₊, zatem ciąg (a_n) jest geometryczny,

co należało wykazać.

---

Zauważamy, że

$a_1=-\frac{2}{3}<0\text{oraz}q=\frac{1}{3}\in \left(0;1\right)$

zatem ciąg jest rosnący.  

---

---

e)

Z treści zadania wiemy, że

$a_n=6\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{n-1},n\in {\mathbb{N}}_{+}$

---

Sprawdzamy wartość ilorazu

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{6\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{n+1-1}}{6\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{n-1}}=$

$=\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^n}{{\left(\sqrt{2}\right)}^{n-1}}={\left(\sqrt{2}\right)}^1=\sqrt{2},n\in {\mathbb{N}}_{+}$   

Powyższy iloraz przyjmuje stałą wartość dla każdego n ∈ N₊, zatem ciąg (a_n) jest geometryczny,

co należało wykazać.

---

Zauważamy, że

$a_1=6>0\text{oraz}q=\sqrt{2}>1$

zatem ciąg jest rosnący.  

---

---

f)

Z treści zadania wiemy, że

$a_n=4^{2n+1},n\in {\mathbb{N}}_{+}$

---

Sprawdzamy wartość ilorazu

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4^{2\left(n+1\right)+1}}{4^{2n+1}}=$

$=\frac{4^{2n+2+1}}{4^{2n+1}}=\frac{4^{2n+3}}{4^{2n+1}}=$   

$=4^2=16,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Powyższy iloraz przyjmuje stałą wartość dla każdego n ∈ N₊, zatem ciąg (a_n) jest geometryczny,

co należało wykazać.

---

Zauważamy, że

$a_1=64>0\text{oraz}q=16>1$

zatem ciąg jest rosnący.