Zaproponuj wzór na n-ty wyraz ciągu.- Zadanie 4: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

$1, 3, 9, 27, 81, 243, \dots$

Zauważmy, że każdy kolejny wyraz to poprzedni wymnożony przez $3$ . Wzór na n-ty wyraz ciągu można zapisać w postaci

$a_{n} = 3^{n - 1}$

$0, 3, 8, 15, 24, 35, \dots$

Zauważmy, że każdy wyraz to prawie kwadrat liczby naturalnej. Jest jednak pomniejszony o jeden. Wzór na n-ty wyraz ciągu można zapisać w postaci

$a_{n} = n^{2} - 1$

$- 1, 4, - 9, 16, - 25, 36, \dots$

Zauważymy, że wyrazy mają naprzemienne znaki. Dodatkowo są kwadratami liczb naturalnych (raz z minusem raz bez). Wzór na n-ty wyraz ciągu można zapisać w postaci

$a_{n} = (- 1)^{n} \cdot n^{2}$

$3, - 9, 27, - 81, 243, \dots$

Zauważmy, że każdy kolejny wyraz to wymnożony poprzedni przez $(- 3)$ . Wzór na n-ty wyraz ciągu można zapisać w postaci

$a_{n} = (- 1)^{n + 1} \cdot 3^{n}$

$1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, \dots$

Zauważmy, że kolejne wyrazy to pierwiastki liczb naturalnych w kolejności. Wzór na n-ty wyraz ciągu można zapisać w postaci

$a_{n} = n$

$\frac{3}{2}, \frac{3}{5}, \frac{3}{10}, \frac{3}{17}, \frac{3}{26}, \frac{3}{37}, \dots$

Zauważmy, że licznik zawsze jest liczbą $3$ a w mianowniku mamy liczbę o jeden wyższą niż kwadrat kolejnej liczby naturalnej. Wzór na n-ty wyraz ciągu można zapisać w postaci

$a_{n} = \frac{3}{n ^{2} + 1}$

$\frac{1}{1 \cdot 2}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{3 \cdot 4}, \frac{1}{4 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 6}, \frac{1}{6 \cdot 7}, \dots$

Zauważmy, że w mianownikach mamy iloczyny liczb sąsiednich i zwiększają się o jeden przy każdym nowym wyrazie. Wzór na n-ty wyraz ciągu można zapisać w postaci

$a_{n} = \frac{1}{n ( n + 1 )}$

$\frac{1}{1 \cdot 4}, - \frac{1}{2 \cdot 5}, \frac{1}{3 \cdot 6}, - \frac{1}{4 \cdot 7}, \frac{1}{5 \cdot 8}, \dots$

W tym ciągu wyrazy mają naprzemienne znaki. Dodatkowo w mianownikach mamy kolejne liczby naturalne wymnożone rzez liczbę o $3$ większą. Wzór na n-ty wyraz ciągu można zapisać w postaci

$a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n ( n + 3 )}$