a) Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Trójkąt ABC jest prostokątny i równoramienny, zatem:

$\left|AB\right|=6\sqrt{2}$  

więc:

$\left|AD\right|=\left|AE\right|=3\sqrt{2}$  

oraz

$\left|BD\right|=\left|BF\right|=3\sqrt{2}$  

zatem:

$\left|EC\right|=\left|CF\right|=6-3\sqrt{2}$  

 

Obliczmy długość odcinka CD:

${\left|CD\right|}^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2=6^2$  

${\left|CD\right|}^2+18=36$  

${\left|CD\right|}^2=18$  

$\left|CD\right|=3\sqrt{2}$  

 

Do trójkąt prostokątnego CEO stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

${\left|CO\right|}^2={\left|OE\right|}^2+{\left|EC\right|}^2$  

${\left(3\sqrt{2}-r\right)}^2=r^2+{\left(6-3\sqrt{2}\right)}^2$  

$18-6\sqrt{2}r+r^2=r^2+36-36\sqrt{2}+18$  

$-6\sqrt{2}r=36-36\sqrt{2}\mid :6$  

$-\sqrt{2}r=6-6\sqrt{2}\mid :\left(-\sqrt{2}\right)$  

$r=-\frac{6}{\sqrt{2}}+6$  

$r=6-\frac{6\sqrt{2}}{2}$  

$r=6-3\sqrt{2}$  

---

b) Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Trójkąt ABC jest równoboczny, zatem:

$\left|AB\right|=6$  

więc:

$\left|AD\right|=\left|AE\right|=3$  

oraz

$\left|BD\right|=\left|BF\right|=3$  

i:

$\left|EC\right|=\left|CF\right|=3$  

 

Obliczmy długość odcinka CD:

${\left|CD\right|}^2+3^2=6^2$  

${\left|CD\right|}^2+9=36$  

${\left|CD\right|}^2=27$  

$\left|CD\right|=3\sqrt{3}$  

 

Do trójkąt prostokątnego CEO stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

${\left|CO\right|}^2={\left|OE\right|}^2+{\left|EC\right|}^2$  

${\left(3\sqrt{3}-r\right)}^2=r^2+3^2$  

$27-6\sqrt{3}r+r^2=r^2+9$  

$18-6\sqrt{3}r=0$  

$18=6\sqrt{3}r$  

$3=\sqrt{3}r$  

$r=\frac{3}{\sqrt{3}}$  

$r=\frac{3\sqrt{3}}{3}$  

$r=\sqrt{3}$