Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Wiemy, że:

$\left|AB\right|=4$  

$\left|BC\right|=4\sqrt{3}$  

$\left|AC\right|=8$  

 

Odcinki AD, CD, BD są promieniami okręgu opisanego na trójkącie ABC, zatem:

$\left|AD\right|=\left|CD\right|=\left|BD\right|=\frac{1}{2}\cdot 8=4$  

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość środkowej AE:

${\left|AB\right|}^2+{\left|BE\right|}^2={\left|AE\right|}^2$  

$4^2+{\left(\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\right)}^2={\left|AE\right|}^2$  

$16+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2={\left|AE\right|}^2$  

$16+12={\left|AE\right|}^2$  

${\left|AE\right|}^2=28$  

$\left|AE\right|=2\sqrt{7}$  

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość środkowej CF:

${\left|BF\right|}^2+{\left|BC\right|}^2={\left|CF\right|}^2$  

${\left(\frac{1}{2}\cdot 4\right)}^2+{\left(4\sqrt{3}\right)}^2={\left|CF\right|}^2$  

$2^2+48={\left|CF\right|}^2$  

$4+48={\left|CF\right|}^2$  

${\left|CF\right|}^2=52$  

$\left|CF\right|=2\sqrt{13}$  

 

Odp.: Długości środkowych trójkąta ABC to: 4, 2√7, 2√13.