Tunel opisany w zadaniu jest w kształcie łuku paraboli danej wzorem

$f\left(x\right)=-\frac{3}{4}{x}^2+3$

---

a)

Zauważmy, że ponieważ we wzorze funkcji mamy

$a=-\frac{3}{4}<0$   

to parabola będąca wykresem tej funkcji ma ramiona skierowane "do dołu",

a wartość największą funkcja przyjmuje w wierzchołku. 

Obliczmy współrzędne wierzchołka tej paraboli.

Otrzymamy

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{-\frac{3}{2}}=0$

$y_w=f\left(x_w\right)=f\left(0\right)=3$

więc na rozważanym łuku paraboli

$y_{\max }=f\left(0\right)=3$

Zauważmy, że środkowa ścieżka tunelu znajduje się na wysokości wierzchołka.

Zatem wzdłuż środkowej ścieżki tunel ma wysokość wynoszącą 3 metry,

więc człowiek o wzroście 1,85 m może nią przejść bez pochylania się. 

Odp. TAK, ponieważ 1,85 m < 3 m. 

---

b)

Zauważmy, że szerokość tunelu przy gruncie jest równa odległości między miejscami zerowymi x₁ i x₂.

Obliczmy miejsca zerowe tej funkcji. 

W tym celu rozwiążemy równanie f(x) = 0.

$-\frac{3}{4}{x}^2+3=0\mid -3$

$-\frac{3}{4}{x}^2=-3\mid :\left(-\frac{3}{4}\right)$    

$x^2=4$

obie strony równania są nieujemne, więc pierwiastkując równanie otrzymujemy

$x=2\text{lub}x=-2$

czyli funkcja f ma dwa miejsca zerowe 

$x_1=-2,x_2=2$

więc szerokość tunelu przy gruncie jest równa 4 m.     

Odp. 4 metry.