Wykonajmy rysunek pomocniczy. 

---

Z walca o promieniu podstawy 20 i wysokości 5 wycinamy graniastosłup prawidłowy ośmiokątny (który ma w podstawie ośmiokąt foremny). Objętość takiego graniastosłupa będzie możliwie największa, gdy jego wysokość będzie równa wysokości walca, a jego podstawą będzie ośmiokąt foremny wpisany w okrąg o promieniu 20. 

---

Ośmiokąt foremny wpisany w okrąg o promieniu 20 możemy podzielić na 8 trójkątów równoramiennych, których ramię ma długość 20 i w których kąt między ramionami jest równy 

${360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$  

---

Obliczamy pole podstawy graniastosłupa (korzystamy z tego, że pole trójkąta jest dwa razy mniejsze od iloczynu długości jego dwóch boków i sinusa kąta między tymi bokami)

$P_p=8\cdot \underset{\text{pole troˊjkąta}}{\underbrace{\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 20\cdot \sin {45}^{\circ }}}=4\cdot 400\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=800\sqrt{2}$  

---

Obliczamy objętość graniastosłupa

$V=P_p\cdot H=800\sqrt{2}\cdot 5=4000\sqrt{2}$