a) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Obliczamy objętość większego stożka. 

$V_1=\frac{1}{3}\pi \cdot 5^2\cdot 15=\frac{1}{3}\pi \cdot 25\cdot 15=125\pi$  

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość tworzącej większego stożka.

$l^2=5^2+{15}^2$  

$l^2=25+225$  

$l^2=250$  

$l=\sqrt{250}$  

$l=5\sqrt{10}$  

Wyznaczamy skalę podobieństwa stożka większego do stożka odciętego.

$k=\frac{5\sqrt{10}}{6\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{5}}{6}$  

Obliczamy objętość stożka odciętego.

$\frac{V_1}{V}=k^3$  

$\frac{125\pi }{V}={\left(\frac{5\sqrt{5}}{6}\right)}^3$  

$\frac{125\pi }{V}=\frac{625\sqrt{5}}{216}\mid :25$  

$\frac{5\pi }{V}=\frac{25\sqrt{5}}{216}$  

Korzystamy z własności proporcji.

$1080\pi =25\sqrt{5}V\mid :25\sqrt{5}$  

$\frac{216\pi }{5\sqrt{5}}=V$  

$\frac{216\sqrt{5}\pi }{25}=V$  

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

Obliczamy objętość większego stożka.

$V_1=\frac{1}{3}\pi \cdot 5^2\cdot \left(2+5\right)=\frac{1}{3}\pi \cdot 25\cdot 7=\frac{175\pi }{3}$  

Wyznaczamy skalę podobieństwa stożka większego do stożka odciętego.

$k=\frac{5+2}{5}=\frac{7}{5}$  

Obliczamy objętość stożka odciętego.

$\frac{V_1}{V_2}=k^3$  

$\frac{\frac{175\pi }{3}}{V_2}={\left(\frac{7}{5}\right)}^3$  

$\frac{175\pi }{3V_2}=\frac{343}{125}\mid :7$  

$\frac{25\pi }{3V_2}=\frac{49}{125}$  

Korzystamy z własności proporcji.

$3125\pi =147V_2\mid :147$  

$\frac{3125\pi }{147}=V_2$  

Obliczamy objętość zacieniowanej bryły.

$V=V_1-V_2=\frac{175\pi }{3}-\frac{3125\pi }{147}=\frac{8575\pi }{147}-\frac{3125\pi }{147}=\frac{5450\pi }{147}=37\frac{11}{147}\pi$  

---

c) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

Obliczamy objętość największego stożka.

$V_1=\frac{1}{3}\pi \cdot 5^2\cdot 15=\frac{1}{3}\pi \cdot 25\cdot 15=125\pi$  

Wyznaczamy skalę podobieństwa stożka największego do stożka średniego.

$k_1=\frac{5+7+3}{7+3}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$  

Obliczamy objętość stożka średniego.

$\frac{V_1}{V_2}=k_1^3$  

$\frac{125\pi }{V_2}={\left(\frac{3}{2}\right)}^3$  

$\frac{125\pi }{V_2}=\frac{27}{8}$  

Korzystamy z własności proporcji.

$1000\pi =27V_2\mid :27$  

$\frac{1000\pi }{27}=V_2$  

$37\frac{1}{27}\pi =V_2$  

Wyznaczamy skalę podobieństwa stożka największego do stożka najmniejszego.

$k_2=\frac{5+7+3}{3}=\frac{15}{3}=5$  

Obliczamy objętość stożka najmniejszego.

$\frac{V_1}{V_3}=k_2^3$  

$\frac{125\pi }{V_3}=5^3$  

$\frac{125\pi }{V_3}=125\mid \cdot V_3$  

$125\pi =125V_3\mid :125$  

$\pi =V_3$  

Obliczamy objętość zacieniowanej bryły.

$V=V_2-V_3=37\frac{1}{27}\pi -\pi =36\frac{1}{27}\pi$