a) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

 

Zauważmy, że:

$\text{tg}\beta =\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71$  

Wobec tego:

$\beta \approx 35,5$  

Tak, miara kąta nachylenia przekątnej sześcianu do podstawy sześcianu jest większa niż 30^o.

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

 

Wyznaczamy długość krawędzi podstawy graniastosłupa. Skorzystamy ze wzoru na długość przekątnej kwadratu.

$d=a\sqrt{2}$  

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość przekątnej sześcianu.

$p^2=a^2+d^2$  

$p^2=a^2+{\left(a\sqrt{2}\right)}^2$  

$p^2=a^2+2a^2$  

$p^2=3a^2$  

$p=\sqrt{3}a$  

Zauważmy, że:

$\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}p}=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,577$  

Wobec tego:

$\frac{\alpha }{2}\approx {35,5}^{\circ }$  

Zatem:

$\alpha \approx {71}^{\circ }$