Wykonajmy rysunek pomocniczy:
Czworokąt ABCD jest rombem. Pole rombu jest równe połowie iloczynu długości przekątnych.
Równanie okręgu o środku w punkcie (-2, -4) i promieniu długości 3:
(x+2)2+(y+4)2=32
Równanie okręgu o środku w punkcie (1, 1) i promieniu długości 3:
(x−1)2+(y−1)2=32
Wyznaczamy współrzędne punktów przecięcia się tych okręgów.
{(x+2)2+(y+4)2=32(x−1)2+(y−1)2=32
{x2+4x+4+y2+8y+16=9x2−2x+1+y2−2y+1=9
{x2+4x+y2+8y+20=9 ∣−20x2−2x+y2−2y+2=9 ∣−2
{x2+4x+y2+8y=−11 ∣⋅(−1)x2−2x+y2−2y=7
{−x2−4x−y2−8y=11x2−2x+y2−2y=7
Dodajemy do siebie lewe i prawe strony równań.
−6x−10y=18 ∣+10y
−6x=18+10y ∣:(−6)
x=−3−35y
Do pierwszego równania w miejsce x odstawiamy otrzymane wyrażenie.
−(−3−35y)2−4(−3−35y)−y2−8y=11
−(9+10y+925y2)+12+320y−y2−8y=11
−9−10y−925y2+12−y2−34y=11
−934y2−334y+3=11 ∣−11
−934y2−334y−8=0 ∣⋅(−9)
34y2+102y+72=0 ∣:2
17y2+51y+36=0
Wyznaczamy rozwiązania powyższego równania.
Δ=512−4⋅17⋅36=2601−2448=153
y1=2⋅17−51−153=34−51−317=34−51−317=34−3(17+17)
y2=2⋅17−51+153=34−51+317=34−51+317=34−3(17−17)
Wyznaczamy x1 i x2.
x1=−3−35y1=−3−35⋅34−3(17+17)=−34102+345(17+17)=34−102+85+517=34−17+517=34−17+517
x2=−3−35y1=−3−35⋅34−3(17−17)=−34102+345(17−17)=34−102+85−517=34−17−517=34−17−517
Stąd otrzymujemy, że:
B=(x1,y1)=(34−17+517,34−3(17+17))
D=(x2,y2)=(34−17−517,34−3(17−17))
Obliczamy długość przekątnej BD.
∣BD∣=(34−17−517−34−17+517)2+(34−3(17−17)−34−3(17+17))2=
=(34−17−517−(−17+517))2+(34−51+317+3(17+17))2=
=(34−17−517+17−517)2+(34−51+317+51+317)2=
=(34−1017)2+(34617)2=
=(17−517)2+(17317)2=
=1725+179=
=1734=
=2
Obliczamy długość przekątnej AC.
∣AC∣=(1−(−2))2+(1−(−4))2=
=(1+2)2+(1+4)2=
=32+52=
=9+25=
=34
Obliczamy pole rombu ABCD.
P=2∣AC∣⋅∣BD∣=234⋅2=217⋅2⋅2=217⋅2=17
