a) Równanie prostej przechodzącej przez punkt P i równoległej do prostej o równaniu x-3y+1=0 zapiszmy w postaci kierunkowej f(x)=ax+b.

Najpierw równanie prostej x-3y+1=0 zapiszemy w postaci kierunkowej.

$x-3y+1=0\mid +3y$  

$x+1=3y\mid :3$  

$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}=y$  

Współczynniki kierunkowe prostych równoległych są takie same, więc:

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}x+b$  

Prosta ta przechodzi przez punkt P=(-2, -1). Współrzędne tego punktu podstawiamy do równania szukanej prostej.

$f\left(-2\right)=-1$  

$\frac{1}{3}\cdot \left(-2\right)+b=-1$  

$-\frac{2}{3}+b=-1\mid +\frac{2}{3}$  

$b=-\frac{1}{3}$  

Wobec tego:

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$  

---

b) Równanie prostej przechodzącej przez punkt P i prostopadłej do prostej o równaniu 3x-2y=0 zapiszmy w postaci kierunkowej f(x)=ax+b.

Najpierw równanie prostej 3x-2y=0 zapiszemy w postaci kierunkowej.

$3x-2y=0\mid +2y$  

$3x=2y\mid :2$  

$\frac{3}{2}x=y$  

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy szukanej prostej.

$a=-\frac{1}{\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}$  

Wobec tego:

$f\left(x\right)=-\frac{2}{3}x+b$  

Prosta ta przechodzi przez punkt P=(-2, -1). Współrzędne tego punktu podstawiamy do równania szukanej prostej.

$f\left(-2\right)=-1$  

$-\frac{2}{3}\cdot \left(-2\right)+b=-1$  

$\frac{4}{3}+b=-1\mid -\frac{4}{3}$  

$b=-\frac{7}{3}$  

Wobec tego:

$f\left(x\right)=-\frac{2}{3}x-\frac{7}{3}$