$\text{a)}2\sin x+2\sqrt{3}\cos x=0\mid -2\sqrt{3}\cos x$  

$2\sin x=-2\sqrt{3}\cos x$  

$\left(1\right)\text{zał.}\cos x=0$  

Szkicujemy wykres funkcji  $y=\cos x.$  

Z wykresu możemy odczytać, że:

$x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Wobec tego:

$2\sin x=0\mid :2$  

$\sin x=0$  

Szkicujemy wykres funkcji  $y=\sin x.$  

Z wykresu możemy odczytać, że:

$x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Uwzględniając założenie, otrzymujemy, że:

$x=\varnothing$  

Równanie jest sprzeczne.

 

$\left(2\right)\text{zał.}\cos x\ne 0$  

Szkicujemy wykres funkcji  $y=\cos x.$  

Musimy więc założyć, że:

$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Przekształcamy dane równanie.

$2\sin x=-2\sqrt{3}\cos x\mid :\cos x$  

$2\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=-2\sqrt{3}\mid :2$  

$\frac{\sin x}{\cos x}=-\sqrt{3}$  

$\text{tg}x=-\sqrt{3}$  

Szkicujemy wykres funkcji  $y=\text{tg}x$  i prostą  $y=-\sqrt{3}.$  

Znajdujemy wszystkie rozwiązania w przedziale o długości  $\pi ,$  np. w przedziale  $⟨-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}⟩.$  

Mamy więc:

$x_0=-\frac{\pi }{3}$  

Rozwiązania danego równania mają postać:

$x=-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Wobec tego:

$x=-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

---

$\text{b)}\text{tg}x\cdot \cos x=1$  

Równanie ma sens dla liczb, dla których  $\text{tg}x$  jest określony, zatem:

$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Przekształcamy dane równanie.

$\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \cos x=1$  

Zakładamy również, że  $\cos x\ne 0.$  

Szkicujemy wykres funkcji  $y=\cos x.$  

Z wykresu możemy odczytać, że:

$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Równanie ma więc postać:

$\sin x=1$  

Szkicujemy wykres funkcji  $y=\sin x.$  

Z wykresu możemy odczytać, że:

$x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Uwzględniając założenie, otrzymujemy, że:

$x=\varnothing$  

Równanie nie ma rozwiązań.

---

$\text{c)}{\cos }^{2}x+\sin x+1=0$  

Przekształcamy dane równanie. Skorzystamy z "jedynki trygonometrycznej".

$1-{\sin }^{2}x+\sin x+1=0$  

$-{\sin }^{2}x+\sin x+2=0$  

Stosujemy podstawienie pomocnicze.

$\sin x=t,t\in ⟨-1;1⟩$  

Mamy więc:

$-t^2+t+2=0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =1^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 2=1+8=9$  

Wyznaczamy pierwiastki równania.

$t_1=\frac{-1-\sqrt{9}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-1-3}{-2}=\frac{-4}{-2}=2\notin ⟨-1;1⟩$  

$t_2=\frac{-1+\sqrt{9}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-1+3}{-2}=\frac{2}{-2}=-1$  

Stąd otrzymujemy, że:

$\sin x=-1$  

Szkicujemy wykres funkcji  $y=\sin x.$  

Z wykresu możemy odczytać, że:

$x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$